初中数学常见解题模型及思路(中考数学难题破解自有定理)

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初中数学压轴题常见解题模型及套路(自有定理)

A. 代数篇:

1.循环小数化分数:设元—扩大——相减(无限变有限)相消法。 例.把0.108108108???化为分数。

设S=0.108108108??? (1) 两边同乘1000得:1000S=108.108108???(2) (2)-(1)得:999S=108 从而:S=

108 余例仿此—— 9992.对称式计算技巧:“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合:x+y;x-y;xy;

x2?y2 中,知二求二。

222 (x?y)?x?y?2xy?2x?2y(? x?)2y2?xy2222 (x?y)?x?y?2xy?(x?)y?4 xy 加减配合,灵活变型。

2(x?)?x2?3.特殊公式

1x1?2的变型几应用。 x24.立方差公式:a3?b3? (a?b)(a2mab?b2)5.等差数列求和的三种方法:首尾相加法;梯形大法;倒序相加法。 例.求:1+2+3+222+2017的和。三种方法举例:略

6.等比数列求和法:方法+公式:设元—乘等比—相减—求解。

例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n (1)

两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n+2n?1 (2) (2)-(1)得:2S-S=2n?1- 1 从而求得S。 7.

11n?m1111????等。 的灵活应用:如:?mnmn62?3238.用二次函数的待定系数法求数列(图列)的通项公式f(n)。 9.韦达定理求关于两根的代数式值的套路:

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1111⑴.对称式:变和积。x2?y2;?;2?2;xy2+x2y等(x、y为一元二次方程方程的两

xyxy根)

⑵.非对称式:根的定义—降次—变和积(一代二韦)。 10. 三大非负数:三大永正数;

211.常用最值式:。 (x?y)?正数 等(非负数+正数)

12.换元大法。

13.自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数,同时

减去同一个数;如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14.拆项法;配方法。原理同上。 15.十字相乘法。

16.统计概率:两查(抽样;普查);三事(必然;不可能;随机);四图(折线;

条形;扇形;直方);三数;三差;两频(频数、频率)一率(概率)等。 17.一元二次方程应用题:每每问题套路;利率问题套路;握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用(避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题(平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法)。

19.四个角的正切值:22.5度的正切值为: 根号2-1 67.5度的正切值为根号2+1 75度的正切值为2+根号3 15度的正切值为2-根号3

B. 几何篇:

OOD1.两套:等线套;等角套。

ACBDCAB①等角套(如图所示):条件 : ∠AOB=∠COD 结论:∠AOC=∠BOD 说明:

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②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套(如图所示):条件:AB=CD 结论:AC=BD 说明:可以看做由平移产生。

ACBDABCD

2.两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件:AB∥CD 结论:∠P=∠AEP+∠PFC

AEBPCFD

3.平行线夹等(同)底三角形:面积相等。同底三角形面积相等,则过顶点的直线与

底所在直线平行。

CDmABn

若:m∥n 则SVABC?SVABD 反之:若 SVABC?SVABD 则:m∥n (反比例模型中的

“垂平”模型的证明用之)

4.已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差,小于两边的和”。 5.三角形的角分线角:

?A 2?A⑵一内一外角分线交角:∠I=

2?A⑶两外平分线交角:∠I=90?

2AAI⑴两内角平分线交角:∠I=90?IBBCACI5.三角形的角平分线:

两边的比=分线段(第三边)的对应比。

BCD 3

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条件:AD为角平分线 结论:

ABBD? ACDC13236.三角形中线性质定理;三中线交点分中线为和两部分。 条件:AD、BE、CF为中线

232 CK=2KF=CF

3A 结论:AK=2KD=AD BK=2KE=BE。

23FkE

BDC7.大名鼎鼎的等面积法:底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件:AD、BE、CF为三角形的高—— 结论:AD2BC=BE2AC=CF2AB △ADB∽△CFB等。

B、C、E、F、四点共圆等。

BDFECA8.高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做:中垂三角形—— a2?b2?5c2其中a、b为中线所在的边) ①条件:AD、AE分别为三角形的角平分线和高, (AB≠AC)。

结论:∠DAE=

?C??B 2BCEDA②条件:BE、CF为三角形的中线,且BE⊥CF

C2?5 结论:a2?b2?5c2 AC2?BC2A BFE ③如图:∠D=∠A+∠B+∠C

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9.三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 ①在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,

那么 S?ABO:S?ACO?BD:DC.

AEOF

②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):

BAS2BDS1OS3DCS1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4 AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

S4C10.等腰三角形三线合一的逆定理:两线合一亦等腰;;一垂两等变等腰;一垂三等变

等直。等腰三角形存在性常用公式:底角的余弦=

底边的一半 腰 ■重要推论:已知三角形中一个角的余弦:这个角的一边3这个角的余弦=另一边

的一半,此三角形为等腰三角形(一边为腰,另一边为底)。

如图:AB?cosB?BC?VABC为等腰三角形(BC为底) 2A ■“两线一圆模型”:已知线段AB(两定点A、B), 在平面内找一点C,使三角形ABC为等腰三角形。

BC 这样的点C 的集合在以A、B为圆心,AB为半径的圆和AB的垂直平分线上(与

A、B共线的点除外) (等腰三角形存在性问题)

11.直角三角形斜高的求法。斜高=

两直角边的乘积

斜边AB ■直角三角形存在性之“两线一圆模型”: 已知线段AB(两定点A、B), 在平面内找一点C,使三角形ABC为等腰三角形。

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