凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
空间向量与立体几何
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题:
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异 面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定 也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为 p?xa?yb?zc．其中正确命题的个数为
A．0
B．1
C．2
D．3 是
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1
A．有相同起点的向量 C．共面向量
B．等长向量 D．不共面向量
3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共 面，则实数λ等于
A．
62 7B．
63 7C．
64 7D．
65 74．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA?a,CB?b,CC1?c， 则A1B?
A．a+b－c
B．a－b+c
C．－a+b+c
D．－a+b－c
5．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角?a,b?为
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
6． 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a与3b的数量积等于
A．－15
B．－5
C．－3
D．－1
8．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB 取得最小值时，点Q的坐标为
A．(,,) 二、填空题：
9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．
131243B．(,,)
123234C．(,,)
448333D．(,,)
447333???b10．已知向量a?(3,5,1)，?(2,2,3)，c?(4,?1,?3)，
???则向量2a?3b?4c的坐标为 .
11．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，
G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝ ．
12．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n， 则
13.在空间直角坐标系O?xyz中,点P(2,3,4)在平面xOy内的射影的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于平面xOy的对称点的坐标为 ;
14. 已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c, 用a,b,c表示MN= . 三、解答题：
15．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
16. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求： ⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件．
17.用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足． 求证：OA//BD．
18. （13分））已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥CD；
（3）若?PDA＝45?，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
20．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点．
（1）证明：D1F⊥EG； （2）证明：D1F⊥平面AEG； （3）求cos?AE，D1B?
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 C 6 B 7 A 8 C
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）