测量平差教案
绪论
第一节 观测误差
本章主要介绍偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义及测量中常用的定权方法等
例子回顾：导线计算表
一、观测值中为什么存在观测误差？
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
有观测就有误差的结论。测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 二、观测误差的计算
给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。 三、观测误差的分类及其处理 1、分类
给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
? 系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者
在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。
? 偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即
从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。
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2、处理
在测量学里，偶然误差处理是按照边长比例分配或直接平均分配。平差里则用平差的方法来处理，所处理的是一系列带有偶然误差的观测值，不包括系统误差的影响。 四、测量平差的任务
根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。 第二节 测量平差学科的研究对象
研究对象为含有观测误差的各类观测值。举例说明。 第三节 测量平差的简史和发展 一、测量平差理论的发展 １、经典平差理论的发展
主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。 ２、近代平差理论的发展
主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。 二、平差计算方法的发展 １、手算阶段 ２、半自动平差阶段 ３、全自动平差阶段
第四节 测量平差的任务和内容 一、任务
讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。 二、内容
课本各章的内容。
小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。
第二章 误差分布与精度指标
第一节 正态分布 一、一维正态分布
绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解
绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节 偶然误差的规律性 一、偶然误差分布
1、描述误差分布的三种方法
（1）列表法（通过实例列表讲解） （2）绘图法（通过实例绘图讲解） （3）密度函数法（通过实例绘图讲解） 二、偶然误差的分布特性
(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性） (3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）
三、两个重要概念
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(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值 (2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
第三节衡量精度的指标；
第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度 一、精密度指标
（一）观测量的精密度指标 1、观测条件与精密度
配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。 2、几种常用的精密度指标 （1）方差与标准差
推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例 (2) 极限误差
分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式 (3) 相对误差
给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。 (4) 平均误差与或然误差
给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。 （二）观测向量的精度指标 1、n维随机向量的方差阵
导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。 2、两随机向量的互协方差阵
导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
二、准确度和精确度指标
分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。 三、测量不确定度
给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度的估计方法。 小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。
第三章 协方差传播律及权
第一节 数学期望的传播律
E(C)?C; E(CX)?CE(X);
E(X1?X2???Xn)?E(X1)?E(X2)???E(Xn);
当Xi相互独立时（i=1,2, …,n）,
E(X1,X2,?,Xn)?E(X1)E(X2)?E(Xn)
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第二节 协方差传播律
协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
一 误差的传递
1、线性函数误差的传递
Y?f1x1?f2x2?...?fnxn?f0 ?Y?f1?x1?f2?x2?...?fn?xn
推导上述公式，讲解式中符号的含义 2、非线性函数误差的传递
Y?f?x1x2...xn?
?Y?f1?x1?f2?x2?...?fn?xn
推导上述公式，讲解式中符号的含义 3、函数向量误差的传递
Y=FX+F0 Y=F(X) ΔY=FΔX
讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式 二、协方差的传递 1、基本公式 函数向量
Y=F(X) Z=K(X)
其误差向量为
ΔY=FΔX ΔZ=KΔX
则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为
DTY?FDXF?DKDT?Z?XK?? DYZ?FDT?XK?DZY?KDT?XF??证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。 2独立观测量函数的方差传递
?2Y?FDFT222X?f?2221?1?f22?...?f1?n
讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。
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3、分块向量函数向量的方差传递
??XZ??t,1t?r,1?Y??r,1?? ?????DX?t,tDZ???D?YX??r,tDXY??t,r? DX??r,r??证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。
通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。
小结：协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。本节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。
第三节 协方差传播律的应用
1、水准测量的精度
绘制具有N个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算公式：
?h?N?站 ?进一步导出S公里观测高差的中误差计算公式：
?h?S??km ?举例说明公式的应用。
2、同精度独立观测值的算数平均值的精度
由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式
?x??N
举例说明公式的应用。
3、若干独立误差的联合影响
?z??1??2????n
222?Z??12??2????n
即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。 4、平面控制点的点位精度
绘支导线略图，求未知点点位中误差，用两种方法求解。 解法一： （1）、列函数式 （2）线性化
（3）应用协方差传播公式计算坐标方差 （4）计算点位方差
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