测量平差教案
解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。
小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。
第四节 权与定权的常用方法
一、权的定义
权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。
P?i??202i?i?1,2,...,n?
2Pi为观测值Li的权，?0是可以任意选定的比例常数。 观测值的权与观测值的方差成反比。
二、单位权方差
权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个σ0， 令σi=σ0，则得:
??P???1 ??i202i2020上式说明?0是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于?0的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。无论?0取何值，权之间的比例关系不变。 举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解。
222三、测量中常用的定权方法
1、水准测量的权 （1）、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）
利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公式。
Ph?C N解释式中符号的含义。 （2）、用路线长度定权（平地）
利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权的公式。
Ph?C S解释式中符号的含义。 举例（例〔3〕、例〔4〕、例〔5〕）讲解。 2、距离量测的权
距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况下的定权方法。 1) 钢尺量距的权
PS?C S解释式中符号的含义。 2) 测距仪测距的权
6
测量平差教案
?P??S202S
?S??标称＋?标称S?10－6
解释式中符号的含义。
3、等精度观测算术平均值的权
利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观测次数定权的公式
PS?n
C 说明公式中符号的含义。
小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。应熟记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。
第五节 协因数和协因数传播律 一、协因数
定义协因数
Q???2iii20?1/pii?1,2,...,n
权可表示为
P?1Q
iii方差和标准差可表式为
?2i??0?Q,2ii???Qi0ii
二、协因数阵
1、n维随机向量X的协因数阵 定义互协因数：
Q???
ijij20利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵
?Q?11?????对称?QX?1?20DQQ1222.........QQX??? 2n...??Qnn??1n上式矩阵中，Qij?Qji。当Qij=0(i≠j)时，则Xi和Xj互不相关。
2、分块向量的协因数阵
?X?Z???
?Y?Q
X?Q??X??QYXQQXYY?? ??7
测量平差教案
式中，QX、QY分别为X、Y向量的自协因数阵，而QXY、QYX分别为X向量关于Y向量的互协因数阵，QXY与QYX互为转置。当QXY等于零时，表示X、Y互不相关。 三、权阵
?Q?11?1?Q?Q??21?...?Q?n1PQQQ1222...m2?P11Q1n???...Q?2n??P21??.........??...Q??Pn1?nn?...?1PPP1222......n2?? ...2n??...?...Pnn??1nPP观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，
P?Piii。
举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解、分析
四 协因数传播律
将协方差传播公式乘以?12，并顾及QY?012?0DY，QX?12?0DX，即可得到观测向量X与其函数向量Y、Z
之间的协因数传播公式。
列出相应公式，以及只有一个函数，且观测值之间不相关时的协因数传播公式。 举例（例〔3〕、例〔4〕）讲解、分析
小结：权与协因数互为倒数关系，权阵与协因数阵互为逆阵关系，一般情况下给了观测值的权阵求观测值的权要先求权阵的逆阵得到其协因数阵，再利用权与协因数的关系求权；协因数传播律与协方差传播律公式相仿，只记住其中一套公式，再记住协因数阵与协方差阵的关系即可。
第六节 由真误差计算中误差及其实际应用
一、利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式
利用协因数传播律导出利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式
???0P??n 二、由真误差计算中误差的实际应用 1、由三角形闭合差计算测角中误差
利用协因数传播律导出由三角形闭合差计算测角中误差的公式
?????WW?
3n说明公式的不严密性。
2、利用双观测列之差求中误差 （1）求单位权中误差
利用协因数传播律导出利用双观测列之差求单位权中误差的公式 不等精度观测
???0Pdd 2n等精度观测
???0dd2n 8
测量平差教案
说明公式中符号的含义。
（2）求双观测列单次观测的中误差
?L???L????0ii1 Pi（3）求双观测列平均值的中误差 利用协因数传播律导出相应公式 不等精度观测
?L??0i1 2Pi等精度观测
???1?_L0i2
水准测量双观测平差应用例题
小结：本节重点是利用双观测之差计算中误差的公式及其应用，该公式在测量中应用广泛，应重点掌握。
第七节 系统误差的传播
一、观测值的系统误差与综合误差的方差 1、观测值的系统误差——偏差 导出偏差表达公式
2、观测值的综合误差方差——可靠性
如果系统误差部分是偶然中误差部分的三分之一或更小时，则可将系统误差的影响忽略不计。 二、系统误差的传播 导出传播公式
三、系统误差与偶然误差的联合传播 导出传播公式
小结：了解系统误差的传播规律。
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 测量平差概述
一、测量控制网简介
1.高程控制网(水准网或三角高程网) 包括闭合水准网和符合水准网。 绘出三组不同网形的水准网。
网中元素：已知高程点，未知高程点和观测高差。 2. 平面控制网 （1）三角网
根据观测量的不同,三角网分为测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。 1)测角三角网
包括独立三角网和符合三角网。 绘出一组不同网形的三角网。
网中元素：已知点，未知点和观测角度。 2)测边三角网
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测量平差教案
包括独立测边网和符合测边网。 绘出一组不同网形的测边网。
网中元素：已知点，未知点和观测边长。 3) 边角三角网
包括独立边角网和符合边角网。 绘出一组不同网形的边角网。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。 （2）导线网
包括独立导线网和符合导线网。 绘出一组不同网形的边角网。
网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。
还有三维网、GPS控制网、航测控制网、工程专用网等将在后续相应课程中介绍。
二、必要起算数据
确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据 ①水准网（三角高程网）：一个已知点高程 ②测站平差：一个已知方位
③测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。 ④测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。
各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要起算数据的控制网成为非独立网或附合网。
三、必要观测及其数目的确定
确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号t表示。 高程网： t=p-q-1
测站平差： t=p-q-1 必要起算数据 测角网： t=2p-q-4 测边网和边角网：t=2p-q-3
P:总点数或总方向数（测站平差）；q：多余起算数据数
必要起算数据之外的起算数据
四、多余观测及其数目的确定
必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示 多余观测数＝观测总数－必要观测数（r=n-t）
五、必要观测和多余观测数目计算练习
计算图3-1至图3-7的必要观测数和多余观测数。
小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数的计算。
第二节 函数模型
1、条件平差法
~FL?0
r,1??2、间接（参数）平差法
~~L?F??X?? n,1?t,1?3、附有参数的条件平差法
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