线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将
l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A
y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A x=2 二、求可行域的面积
?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）
?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大
解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC
的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B
y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
C x 2x + y – 6= 0 = 5 ?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y(x(x0,y0)0)0,y?0)
y 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
点个数为13个，选D
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O x 四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x?y?5?例4、已知x、y满足以下约束条件?x?y?5?0，使z=x+ay(a>0)
?x?3?y x + y = 5 x – y + 5 = 0 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1
O x=3 x
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解
有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
五、求非线性目标函数的最值
?2x?y?2?0?22
例5、已知x、y满足以下约束条件?x?2y?4?0 ，则z=x+y的最大值和最小值分别是（ ）
?3x?y?3?0? A、13，1 B、13，2
y A 254C、13， D、13，
55
22
解：如图，作出可行域,x+y是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即
2
|AO|=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为
O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 4，选C 5六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）
y
2x – y + 3 = 0 2x – y = 0 解：|2x－y＋m|＜3等价于??2x?y?m?3?0
?2x?y?m?3?0O ?m?3?3由右图可知? ,故0＜m＜3，选C
m?3?0?七、比值问题
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当目标函数形如z?y?a时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转x?b化为PQ连线斜率的最值。
??x－y＋2≤0，y例 已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则 的取值范围是（ ）.
x??x＋y－7≤0，
99
（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）
55（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] 解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O 59y（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得
22x9y最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A
5xyx八、线性规划应用
例1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：
现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2:3，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？
分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解．
解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨2t元，
则成本为z?2tx?3ty?t(2x?3y)．因此只须求2x?3y的最小值即可．
?10x?5y?50,??7x?9y?63,?5x?13y?65.y又由题意可得x、满足条件?
作出不等式组所表示的平面区域（如图）
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?10x?5y?50,2756?A(,)7x?9y?63.得1111 由??7x?9y?63,11770?B(,)5x?13y?65.?2323 由得
2x?3y?0，把直线l向右上方平移至可行域中的点B时， 作直线l：z?2x?3y?2?11770444?3??232323．
444t23∴最小成本为．
11770答：应用燃料甲23吨，燃料乙23吨，才能使成本最低．
说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？
例2、 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组．只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案．
解：设每天配制甲各饮料x杯、乙种饮料y杯可获得最大利润，利润总额为z元． 由条件知：z?0.7x?1.2y．变量x、y满足
?9x?4y?3600,?4x?5y?2000,???3x?10y?3000,??x?0,y?0.
作出不等式组所表示的可行域（如图）
0.7x?1.2y?0，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，z?0.7x?1.2y取最大值． 作直线l：?3x?10y?3000?0,?4x?5y?2000?0.
由方程组：?第 4页 共5页