第10讲 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分p69 §3.1复变函数积分的概念
教学目的：1、理解关于复积分的定义；2、掌握复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质；
3、注意复积分中值定理与实积分定理的区别；教学重点：复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质； 教学难点：复积分中值定理与实积分定理的区别；教学方法：启发式；教学手段：讲解与板书相结合 教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但复积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的许多性质与实积分既有相同的地方也有不同的地方，因此，学习时需要加以注意。
§3.1 复变函数积分的概念1. 有向曲线2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法4. 积分性质 1. 有向曲线：设C:??x?x(t)(??t??),x'(t)、y'(t)?C[?,?],且[x'(t)]2?[y'(t)]2?0
?y?y(t)C:z(t)?x(t)?iy(t)(??t??)(1)
z'(t)连续且z'(t)?0，C??z平面上的一条光滑曲线.约定:C?光滑或分段光滑曲线， (因而可求长).C的方向规定:开曲线:指定起点a,终点b,若a?b为正,则b?a为负,记作C?; 闭曲线:正方向??观察者顺此方向沿C前进一周,C的内部一直在观察者的左边。
B(终点)
C A A(起点)
C
2. 积分的定义：设(1)w?⌒f(z) C
z?D；(2)C为区域D内点A?点B的一条光滑有向曲线.
⌒(3)将AB任意分划成n个小弧段:A?z0,z1,?,zn?B；(4)??k?zk?1zkn⌒作乘积f(?k)?zk
1?k?n(5)作和式Sn??f(?k)?zk,?zk?zk?zk?1,记?Sk为zk?1zk的长度,??max{?Sk}k?1若(n??)k?1lim??0?nf(?k)?zk?In?(2)
无论如何分割C,?i如何取，则称?为f(z)沿曲线C从(A?B)的积分,记作?Cf(z)dzi.e.,?Cf(z)dz?lim?f(?k)?zk??(3)
n??k?1分割?取乘积?求和?取极限
C说明 (1)若闭曲线C记作?f(z)dz(2)C:t?[a,b],f(z)?u(t),则?f(z)dz??u(t)dt
CCabaCb(3)如果?f(z)dz存在,一般不能写成?f(z)dz.因为?f(z)dz不仅与a,b有关,还与曲线C的形状和方向有关。 25
b2?a2特例：(1)若C表示连接点a,b的任一曲线,则?dz?b?a,?zdz?CC2(2)若C表示闭曲线,则?dz?0,?zdz?03.
CC3积分存在的条件及其计算法
定理当f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在光滑曲线C上连续时,f(z)必沿C可积,即?Cf(z)dz存在.
且?Cf(z)dz??udx?vdy?i?vdx?udy?CCC记忆?(u?iv)(dx?idy) （4）
C这个定理表明?f(z)dz可通过二个二元实变函数的第二型曲线积分来计算. 推论1：当f(z)是连续函数,C是光滑曲线时，?f(z)dz一定存在。c推论2：数的线积分来计算。?f(z)dz可以通过两个二元实函c设光滑曲线C:z?z(t)?x(t)?iy(t)t:???
由曲线积分的计算法得
?(终)?(终)?Cf(z)dz?????(起){u(x(t),y(t))x'(t)?v(x(t),y(t))y'(t)}dt ?i????(起){v(x(t),y(t))x'(t)?u(x(t)y(t))y'(t)}dt??{u[x(t),y(t)]?i[v[x(t),y(t)]]}(x'(t)?iy'(t))dt??f[z(t)]z'(t)dt
??f(z)dz??f[z(t)]z'(t)dt??(6)
C??4. 积分性质 由积分定义得：
1)?f(z)dz????f(z)dzCC2)?kf(z)dz?k?f(z)dzCCCC13)?[f(z)?g(z)]dz??f(z)dz??g(z)dzCCCC2Cn4)C?C1?C2???Cn(分段光滑曲线)?f(z)dz????????f(z)dz5)设C的长度为L,函数f(z)在C上满足f(z)?M??Cf(z)dz??f(z)ds?ML??估值定理.
C?x?3t例1计算?zdzOA:?(0?t?1)
Cy?4t?2解?zdz??(3?4i)t?(3?4i)dt?(3?4i)?tdt?C01101(3?4i)2 2C又解zdz?C??(x?iy)(dx?idy)??CCxdx?ydy?i?ydx?xdy
26
1容易验证,右边两个积分都与路径无关,??连接OA的曲线C，其上积分:?f(z)dz?(3?4i)2
C2y A zz?z0?rei??y A z0?1?ir C1C3z0 例2 计算x C C2dz?C(z?z0)n?1这里C表示以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数.
0???2?
i?解 C:z?z0?rei?2?2?iiredz??d? ???0rnein??0rn?1ei(n?1)?C(z?z)n?10?i2?d??2?in?0??0d???i2?
s??isinn?)d??0n?0?n?0(con?r???2?in?0dzdz? ???C(z?z)n?1z?z0?r(z?z)n?1n?000?0这个结果与半径r及z0无关,这个结果以后经常用到,应记住.
例3 计算zdz的值:1)C?C1?Oz0;2)C?C2?C3(见图)
C?解 1)C1:z?(1?i)t0?t?1?zdz??(t?it)(1?i)dt??2tdt?1
C00112)C2:z?t0?t?1C3:z?1?it0?t?1
?zdz??zdz??zdz??tdt??(1?it)idt?CC2C3110011?(?i) 22例4计算zdz,zdz的值,其中C1是单位圆z?1的上半圆周,顺时针方向;C2是单位圆z?1的下半圆周，逆时针方向.
?C?C12解 1)C1:z?ei?,0????.i??i?i?zdz?e??ied??i?dt???i C100??2)C2:z?e,?????0.作业p99,1,2,
?zdz???eC2?0?i?ied??i?dt??i
??i?027
第11讲 §3.2 Cauchy-Goursat基本定理
教学目的：1、掌握柯西积分定理以及其等价形式；2、理解柯西积分定理的推广形式；教学重点：柯西积分定理以及其等价形式；教学难点：柯西积分定理以及其等价形式；教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但柯西积分定理是整个复变函数论的基础。
一、分析 §1的积分例子:例1中f(z)?z在全平面解析,它沿连接起点及终点的任意C的积分值相同，
即，?f(z)dz与路径无关，即?f(z)dz＝?f(z)dz，例2中CCABz?z0?r?1dz?2?i?0?z?z0为奇点,即不解析的点 z?z0,但在除去z?z0的非单连通区域内处处解析。例3中f(z)?z在复平面上处处不解析,?zdz的值与积分路径C有关.
C由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨
D内处处解析,且f'(z)在D内连续\ 二、Cauchy定理 \设f(z)?u?iv在单连通?f'(z)?ux?ivx?vy?iuy又,?C?D，?f(z)dz??udx?vdy?i?vdx?udy
cCC?u和v以及它们的偏导数ux,uy,vx,vy在D内都是连续的,并满足C?R方程ux?vyccvx??uy由Green公式?udx?vdy???(?vx?uy)dxdy?0,?vdx?udy???(ux?vy)dxdy?0 ?cf(z)dz?0
DD?1825年Cauchy给出了\单连通区域D内处处解析的f(z)在D内沿任一条闭曲线C的积分?f(z)dz?0\—Cauchy 定理
c当时解析的定义为f'(z)存在,且在D内连续.，1851年Riemann给出了Cauchy定理的上述简单证明.
1900年Goursat给出了Cauchy定理的新证明,且将\f'(z)连续\这一条件去掉了.这就产生了著名的Cauchy?Goursat定理,从此解析函数的定义修改为:\f'(z)在D内存在\
Cauchy-Goursat基本定理：—也称Cauchy定理
设f(z)在z平面上单连通区域B内解析,C为B内任一条闭曲线??f(z)dz?0.
CB C C H L3 C ccL2 G B C L1
(1)若C为B的边界,f(z)在B?C?B上解析,定理仍成立.
28