制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子
赵天罡
（西北工业大学附中初一18班，陕西 西安）
摘 要：为了制作一个容积最大的无盖长方体形盒子，本文运用画图法、制表法对边长20cm的正方形纸裁剪后的无盖长方体形盒子容积进行了分析，分别针对五种“九宫格”形的裁剪方法提出了两种不同的计算公式。计算分析结果表明：在两种计算方法中，方法二得到的容积值较方法一大；方法一剪裁的小正方形宽度值取约3.3333时容积最大，方法二剪裁的小正方形宽度值取时约4.2265时容积最大。
关键词：正方形；长方体无盖纸盒；容积；裁剪；图表法
1 问题的提出
在几何数学中，我们经常遇到以下问题：
（1）如何将一张正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒？ （2）怎样裁剪使这个纸盒最大？
这两个问题是两个相关的问题，其中隐含着正方形纸板的裁剪方法和长方体无盖纸盒最大容积的计算和分析方法问题。本文将首先从正方形纸板的裁剪方法研究出发，运用画图法、制表法等方法分析计算长方体无盖纸盒的最大容积。
2 “九宫格”形的裁剪方法
要将一张正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒首先涉及到的是正方形纸板的裁剪方法，为了直观简单的分析裁剪方法，本文借助了唐代书法家欧阳询所创制的“九宫格”。
九宫格，又叫“九方格”，即九个一样大小的正方形组成的大正方形，如图1所示。
借助九宫格，将正方形纸板裁剪成长方体无盖纸盒就变得十分容易。所谓“九宫格”形的裁剪方法，即是将无盖长方体看作无盖正方形，无盖长方体的平面展开图的长宽跨度均为大正方形边长；将大正方形看作九宫格，并剪裁其中四块小正方形，留下相邻并可折成无盖正方体的5块小正方形，如图2所示。
图1 九宫格 图2 “九宫格”形的裁剪方法 运用“九宫格”，可裁剪成无盖长方体的方法有8种，如图3所示，其中后3种裁剪方法（即6~8裁剪方法）属于变形“九宫格”形的裁剪方法，计算较为困难，本文不进行分析计算，重点分析前5种方法的容积计算。
（1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） （8）
图3 正方形纸板的9种“九宫格”形的裁剪方法
3 无盖长方体的最大容积计算
下面重点分析上述前5种“九宫格”形的裁剪方法的最大容积计算。经过分析，（1）~（3）种裁剪方法的容积计算方法相同，（4）、（5）种裁剪方法的容积计算方法相同，应分别计算，下文将（1）~（3）种裁剪方法的容积计算方法归为方法一，将（4）、（5）种裁剪方法的容积计算方法归为方法二。
为便于计算，下列两种方法均以边长为20cm的正方形纸为例进行无盖长方体的裁剪和容积计算。 3.1 方法一
（1）裁剪方法
（1）~（3）种“九宫格”形的裁剪方法如图4所示，图中黑色为剪裁部分。其中图（1）中剪裁的小正方形宽度全部相同；图（2）中剪裁的小长方形长度为“20cm与剪裁的小正方形宽度的差”，剪裁的小长方形宽度等于剪裁的小正方形宽度；图（3）中不规则图形的2条长边相等，为剪裁的小正方形宽度的两倍， 不规则图形的4条短边相等，等于剪裁的小正方形的宽度。
（1） （2） （3）
图4 （1）~（3）种“九宫格”形的裁剪方法
（2）容积计算公式
上述（1）~（3）种“九宫格”形的裁剪方法其容积计算公式相同，如式（1）所示：
V=(20-X*2)^2*X （1）
式中：大正方形纸的边长为20cm；X为剪裁的小正方形边长（cm），0 （3）最大容积计算 如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时，折成的无盖长方体形盒子的容积运用公式（1）的计算结果如表1和图5所示。 方法一的无盖长方体形盒子的容积计算结果 表1 小正方形的边长（cm） 1 2 3 4 无盖长方体的容积（cm） 324 512 588 576 2 3小正方形的边长（cm） 6 7 8 9 无盖长方体的容积（cm） 384 252 128 36 3 5 500 10 0 图5 方法一的无盖长方体形盒子的容积变化趋势 从表1和图5中可以看出，当小正方形边长小于3cm时，方法一计算的无盖长方体形盒子的容积逐渐 增大；在3~4cm间容积达到最大，其后随着小正方形边长的增加容积逐渐减小；当小正方形边长为10cm时，容积为0。 为了进一步计算最大的容积，在小正方形边长3~4cm间，以0.1cm为步长计算无盖长方体形盒子的容积，计算结果如表2和图6所示。 以0.1cm为步长的无盖长方体形盒子的容积计算结果 表2 小正方形的边长（cm） 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 无盖长方体的容积（cm） 590.364 591.872 592.548 592.416 591.5 3小正方形的边长（cm） 3.6 3.7 3.8 3.9 4 无盖长方体的容积（cm） 589.824 587.412 584.288 580.476 576 3 3