高三新数学第一轮复习教案—不等式解法及应用
一．课标要求：
1．不等关系
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2．一元二次不等式
①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
二．命题走向
分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。
1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；
2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；
3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；
4．对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。
三．要点精讲
1．不等式的解法
解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。
高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。
（1）同解不等式（(1)（2）
同解；
与
与
同解，
同解；
与
（3）与同解）；
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2．一元一次不等式
解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。
情况分别解之。
3．一元二次不等式
或
别解之，还要注意函数的图象。 4．分式不等式
的三种情况，即
或
分或
及
情况分
，最好联系二次
?f(x)?g(x)?0f(x)f(x)分式不等式的等价变形：>0?f(x)·g(x)>0，≥0??。
g(x)g(x)g(x)?0?5．简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法：
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；
②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
22
|x|
22
|x|>a?x>a?x>a或x<－a(a>0)。 一般地有：
|f(x)| |f(x)|>g(x)?f(x)>g (x)或f(x) ； ； 7．对数不等式 第 2 页 共 14 页 等， （1）当时，； （2）当时，。 8．线性规划 （1）平面区域 一般地，二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示 Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式Ax?By?C?0所表示的平面区域时，此区域应 包括边界直线，则把直线画成实线。 说明：由于直线Ax?By?C?0同侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax?By?C，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0?By0?C的正负即可判断Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C?0时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设z?2x?y，式中变量x,y满 y x?1 ?x?4y??3足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最 ??x?1?C 小值。 由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x?0,y?0时， A x?4y?3?0 B O 3x?5y?25?0 x z?2x?y?0，即点(0,0)在直线l0： 2x?y?0上，作一组平行于l0的直线l：2x?y?t，t?R，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2x?y?0，即t?0，而且，直线l往右平移时，t随之增 大。 由图象可知，当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大， 第 3 页 共 14 页 当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax?2?5?2?12， zmin?2?1?1?3。 在上述引例中，不等式组是一组对变量x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z?2x?y是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数。又由于z?2x?y是x,y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 四．典例解析 题型1：简单不等式的求解问题 ?x2?1?0例1．（2002京皖春，1）不等式组?2的解集是（ ） ?x?3x?0A．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜0＜x＜1} 答案：C B．｛x｜0＜x＜３} D．｛x｜－1＜x＜３} ?x2?1??1?x?1??? 0＜x＜1。 解析：原不等式等价于：??x(x?3)?0?0?x?3点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基础。 例2．（2001河南、广东，1）不等式A.{x|x<1} C.{x|x<1或x>3} 答案：C 解析：由已知 x?1>0的解集为（ ） x?3 B.{x|x>3} D.{x|1 x?1?0?（x－1）（x－3）>0， x?3∴x<1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}。 点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。 题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题 第 4 页 共 14 页