高三数学第一轮复习教案讲义不等式解法及应用复习资料

高三新数学第一轮复习教案—不等式解法及应用

一.课标要求:

1.不等关系

通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;

2.一元二次不等式

①.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程; ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系;

③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组;

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

二.命题走向

分析近几年的高考试题,本将主要考察不等式的解法,综合题多以与其他章节(如函数、数列等)交汇。从题型上来看,多以比较大小,解简单不等式以及线性规划等,解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。

1.结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质,解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现;

2.以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点,主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力;

3.在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题,特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势;

4.对含参数的不等式,要加强分类讨论思想的复习,学会分析引起分类讨论的原因,合理分类,不重不漏。

三.要点精讲

1.不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段,与“等式变形”并列的“不等式的变形”,是研究数学的基本手段之一。

高考试题中,对解不等式有较高的要求,近两年不等式知识占相当大的比例。

(1)同解不等式((1)(2)

同解;

同解,

同解;

(3)与同解);

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2.一元一次不等式

解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础,必须熟练掌握,灵活应用。

情况分别解之。

3.一元二次不等式

别解之,还要注意函数的图象。 4.分式不等式

的三种情况,即

分或

情况分

,最好联系二次

?f(x)?g(x)?0f(x)f(x)分式不等式的等价变形:>0?f(x)·g(x)>0,≥0??。

g(x)g(x)g(x)?0?5.简单的绝对值不等式

绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法:

①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般不等式;

②等价变形:

解绝对值不等式常用以下等价变形:

22

|x|0),

22

|x|>a?x>a?x>a或x<-a(a>0)。 一般地有:

|f(x)|

|f(x)|>g(x)?f(x)>g (x)或f(x)

7.对数不等式

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等,

(1)当时,;

(2)当时,。

8.线性规划

(1)平面区域

一般地,二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示

Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式Ax?By?C?0所表示的平面区域时,此区域应

包括边界直线,则把直线画成实线。

说明:由于直线Ax?By?C?0同侧的所有点的坐标(x,y)代入Ax?By?C,得到实数符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0?By0?C的正负即可判断Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当C?0时,通常把原点作为此特殊点。

(2)有关概念

引例:设z?2x?y,式中变量x,y满

y x?1

?x?4y??3足条件?3x?5y?25,求z的最大值和最

??x?1?C

小值。

由题意,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x?0,y?0时,

A x?4y?3?0

B

O

3x?5y?25?0

x

z?2x?y?0,即点(0,0)在直线l0:

2x?y?0上,作一组平行于l0的直线l:2x?y?t,t?R,可知:当l在l0的右上方时,直线l上的点(x,y)满足2x?y?0,即t?0,而且,直线l往右平移时,t随之增

大。

由图象可知,当直线l经过点A(5,2)时,对应的t最大,

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当直线l经过点B(1,1)时,对应的t最小,所以,zmax?2?5?2?12,

zmin?2?1?1?3。

在上述引例中,不等式组是一组对变量x,y的约束条件,这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又称为线性约束条件。z?2x?y是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式,叫目标函数。又由于z?2x?y是x,y的一次解析式,所以又叫线性目标函数。

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 四.典例解析

题型1:简单不等式的求解问题

?x2?1?0例1.(2002京皖春,1)不等式组?2的解集是( )

?x?3x?0A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1} 答案:C

B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

?x2?1??1?x?1??? 0<x<1。 解析:原不等式等价于:??x(x?3)?0?0?x?3点评:一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识,是解决其它问题的基础。

例2.(2001河南、广东,1)不等式A.{x|x<1} C.{x|x<1或x>3} 答案:C 解析:由已知

x?1>0的解集为( ) x?3 B.{x|x>3} D.{x|1

x?1?0?(x-1)(x-3)>0, x?3∴x<1或x>3.

故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}。

点评:简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具,分式不等式的解题思路是:分式化整式(注意分母不为零)。

题型2:简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题

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