数学竞赛中的数论问题
第二部分 数论题的范例讲解
主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．
一、奇数与偶数
整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n，奇数可以表示为2n?1或2n?1．一般地，整数被正整数m去除，按照余数可以分为m类，称为模m的剩余类Ci?xx?i?modm?，从每类中各取出一个元素ai?Ci，可得模m的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,??,m?1称
为模m的非负最小完全剩余系.
通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用． 关于奇数和偶数，有下面的简单性质：
（1）奇数?偶数．
（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．
（5）除2外所有的正偶数均为合数；
（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．
（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，a?b?a?b?mod2?． （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数． （10）n个偶数的积是2的倍数．
（11）??1??1的充分必要条件是k为偶数，??1???1的充分必要条件是k为奇数．
（12）?2n??0?mod4?,?2n?1??1?mod4?,?2n?1??1?mod8?． （13）任何整数都可以表示为n?2……
例1 （1906，匈牙利）假设a1,a2,数，则乘积
?a1?1??a2?2?m222kkn?2k?1?．
,n的某种排列，证明：如果n是奇
,an是1,2,?an?n?
1
是偶数．
类似题：
例1-1（1986，英国）设a1,a2,,a7是整数，b1,b2,,b7是它们的一个排列，证明
?a1?b1??a2?b2??a7?b7?是偶数．
（a1,a2,
例1-2 ?的前24位数字为??3.14159265358979323846264，记a1,a2,24个数字的任一排列，求证?a1?a2??a3?a4?,a7中奇数与偶数个数不等）
,a24为该
?a23?a24?必为偶数．
（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）
例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的
,14？
数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,
2
例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？
例4 有n个数x1,x2,,xn?1x,n，它们中的每一个要么是1，要么是?1．若
1nx1x2?x2x3?
??n?xx?nx1x0?，求证4|n．
例5 n个整数a1,a2,
,an?1,an，其积为n，其和为0，试证4|n．
例6 在数轴上给定两点1和2，在区间(1,2)内任取n个点，在此n?2个点中，每相邻两点连一线段，可得n?1条互不重叠的线段，证明在此n?1条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．
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