名姓 装 号 学 订 级 班 线 别系第7章 多元函数积分学 练习题
一、选择题与填空题
??n1.
f(x,y)d??lim?f(?i,?i)??i中?是 （ ）
D??0i?1 A.最大小区间长； B.小区域最大面积；
C.小区域直径； D.小区域最大直径.
2.二重积分
??f(x,y)dxdy的值与 （ ）
D A.函数f及变量x，y有关； B.区域D及变量x，y无关；
C.函数f及区域D有关； D.函数f无关，区域D有关. 3.设f(x)?g(x)???4,0?x?1其余，D为全平面，则??f(x)g(y?x)dxdy? （ ）
?0,D A.16； B.8； C.4； D.??.
4.设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是区域D：|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分
??f(x2,y2)dxdy?D??f(x2,y2)dxdy. （ ）
D1 A.2； B.4； C.8； D.12.
5.设I1???ln(x?y)d? ，I???(x?y)22d?，I3???(x?y)d?，其中D是由直线x=0，
DDDy=0，x?y?12及x?y?1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序为 （ ） A.I3＜I2＜I1 ； B. I1＜I2＜I3 C. I1＜I3＜I2； D. I3＜I1＜I2.
6.设D?{(x,y)1?x2?y2?9}，则
??dxdy?
（ ）
DA. ?； B. 2? ； C. 3?； D. 8?. 7. 顶点坐标为（0,0），（0,1），（1,1）的三角形面积可以表示为 （ ） A.
?x0dy?y0dx B.
?10dx?x1dy C.
?10dx?1xdy
D.?1dy?00ydx.
8.当函数f(x，y)在闭区域D上______________时，则其在D上的二重积分必定存在.
9.二重积分
??f(x,y)d?的几何意义是
D . 10.交换二次积分次序，则
?12?y0dy?yf(x,y)dx?_____________.
11.交换二次积分次序，则
?1x20dx?0f(x,y)dy??22?x1dx?0f(x,y)dy?____________.
12.设D???x,y?0?x?1,0?y?1?，试利用二重积分的性质估计I???xy?x?y?d?的
D值: .
13.设区域D是有x轴、y轴与直线x?y?1所围成，比较大小：
???x?y?2d?______________???x?y?3d?.
DD14.比较大小：其中D是以(0,0),(1,?1),(1,1)为顶点的三角形，
??(x2?y2)d?______________x2?y2d?. D??D15.设D是由x?0,y??,y?x所围成的区域， 则 ??cos(x?y)dxdy?____________. D16.设D：x2?y2?a2,(a?0) ,又有??(x2?y2)dxdy?8?，则a = . D
二、解答与证明题
1.根据重积分的性质，比较积分??ln(x?y)d?与??ln(x?y)2d?的大小，其中积分区域D是：DD（1）以(1, 0)，(1, 1)，(2, 0)为顶点的三角形区域； （2）矩形区域：3?x?5, 0?y?1. 2.设D?{(x,y) x?y?10}，估计积分I???1D100?cos2x?cos2yd?的值.
3.化二重积分??f(x,y)d?为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域D为：由
Dy?x,y2?4x所围成的闭区域.
4.改变下列二次积分的积分次序.
x（1）?22x?x2f(x,y)dy；
（2）?4dx?266?x1dx?2?x00f(x,y)dy??4dx?0f(x,y)dy.
5.计算二重积分I???x2dxdy，其中D:x?y?1.
D6.计算二重积分I???x21?y2dxdy，其中D:0?y?1?x2,0?x?1.
D7.计算二重积分I???|1?x?y|dxdy，其中D:0?x?1,0?y?1.
D1 / 2
8.计算二重积分I???xydxdy，其中D由xoy平面上第一象限内直线x＝0与y=2抛
D物线y＝
12x2所围. 9.计算二重积分I???xdxdy，其中D由y?x及y?2x?x2所围.
D10.计算二重积分I???x?y2dxdy，其中D由x2?y2?1,x?y?1所围. Dx?y211.计算二重积分I???e?x2?y2dxdy，其中D是圆域x2?y2?1在第一象限部分.
D12.计算二重积分I???(x2?y2?x)dxdy.其中D由直线y?2,y?x及y?2x所围.
D13.计算二重积分??x2y?x及曲线xy?1所围.
Dy2d?，其中D由直线x?2,.计算二重积分I???e?y214dxdy, 其中D由y?x,x?0,y?1所围.
D15.求曲线.x??t0eucosudu,y?2sint?cost,z?1?e3t在t?0处的切线和法平面方程.
16.求曲线x?sin2t , y?sintcost , z?cos2t在t??4处的切线方程.
17.求曲面y?e2x?z?0在点（1,1,2）处的切平面与法线方程.
18.证明:
? ?2? ?2sinx 0dy yxdx?1. 19.证明：
?bdx?x(x?y)nf(y)dy?1baan?1?a(b?y)n?1f(y)dy. 20.如果二重积分??f(x,y)d?的被积函数f(x,y)能分解为x的函数与y的函数的乘积，即
Df(x,y)?f1(x)?f2(y)，且积分区域D为矩形区域：a?x?b,c?y?d，证明二重积分等于
两个定积分的乘积，即??f(x,y)d?????baf1(x)dx??????dcf2(y)dy??.
D2 / 2