第5讲 简单的三角恒等变换
基础知识整合
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
1＋cos2α1－cos2α22
1．降幂公式：cosα＝，sinα＝. 222．升幂公式：1＋cos2α＝2cosα，1－cos2α＝2sinα. 3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)． 4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)， 其中sinφ＝222
2
ba2＋b，cosφ＝2
aa2＋b2
.
1
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝( )
38778A. B. C．－ D．－ 9999答案 B
272
解析 cos2α＝1－2sinα＝1－＝.故选B.
99
1π
2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为( )
3242
A．－
9C.22
9
22B．－
9D.42
9
答案 A
11π
解析 ∵sin(π－α)＝，即sinα＝，又≤α≤π，
332222
∴cosα＝－1－sinα＝－，
3∴sin2α＝2sinαcosα＝－
42
. 9
1
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝( )
34A．－ 51C. 5答案 D
cosθ－sinθ1－tanθ4
解析 解法一：cos2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝.故选D. 22
cosθ＋sinθ1＋tanθ5
2
2
2
2
2
1B．－ 54D. 5
1142
解法二：由tanθ＝－，可得sinθ＝±，因而cos2θ＝1－2sinθ＝.
35104．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝( ) 4334
A．－ B. C．－ D. 3443答案 D
2tanα4解析 由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝.故选D. 2
1－tanα3
π
5．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
2A．1 C.3＋1 答案 B
B．2 D.3＋2
?解析 f(x)＝?1＋3·
?
取得最大值2.
sinx??π?∴当x＝π时，
cosx＝cosx＋3sinx＝2sin?x＋?，f(x)?cosx?6?3?
?π?6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈?0，?，tanα＝2，则
2??
π??cos?α－?＝________.
4??答案
310 10
π?ππ?解析 cos?α－?＝cosαcos＋sinαsin 4?44?＝
2
(cosα＋sinα)． 2
?π?又由α∈?0，?，tanα＝2，
2??
255
知sinα＝，cosα＝，
55
π?2?525?310?α－∴cos?＝×?＋??＝10. 4?2?5?5?
核心考向突破
考向一 三角函数的化简
例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
2
2