【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 统计案例章末分层
突破学案 北师大版选修1-2
[自我校对]
①回归分析 ②独立性检验 ③相关系数 ④相互独立事件
,回归分析
分析两个变量线性相关的常用方法：
(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．
(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁 身高/cm 3 90.8 4 97.6 5 104.2 年龄/周岁 身高/cm 10 134.2 11 140.8 12 147.6 13 154.2 14 160.9 15 167.5 16 173.0 6 110.9 7 115.6 8 122.0 9 128.5 (1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？ 1 / 18
(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm，其年龄相差多少？
【精彩点拨】 本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．
1
【规范解答】 (1)设年龄为x，身高为y，则x＝(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，
14
y＝(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，
14
2
14
2
14
114
i＝1
∑xi＝1 491，∑yi＝252 958.2，∑xiyi＝18 990.6，14x y≈17 554.1， i＝1i＝1
14
2
2
14
2
2
∴∑xi－14(x)＝227.5，∑yi－14(y)≈9 075.05， i＝1i＝1
14
i＝1
∑xiyi－14x y＝1 436.5，
14
∴r＝
i＝1
14
∑xiyi－14x y14
2
i＝1
∑xi－14
2
x2
i＝1
∑yi－14y2
＝
≈0.999 7.
227.5×9 075.05
1 436.5
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
14
(2)由(1)得b＝
i＝114
∑xiyi－14x yi＝1
∑xi－14
2
x1 436.5＝≈6.314， 227.52
a＝y－bx＝131.985 7－6.314×9.5≈72，
∴x与y的线性回归方程为y＝6.314x＋72.
因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． 20
(3)如果身高相差20 cm，年龄相差≈3.168
6.314≈3(岁)． [再练一题]
1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：
单价 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 x(元) 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 2 / 18
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
11
【解】 (1)由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)
66＝80.
所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x＋330x－1 000
2
?33?2
＝－20?x－?＋361.25.
4??
当且仅当x＝8.25时，l取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
,条件概率
1．条件概率公式揭示了条件概率P(A|B)与事件概率P(B)、 P(AB)三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P(B)和P(AB)时去求出P(A|B)；另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时去求出P(AB)．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)P(B|A)．
2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求 P(AB)时，必须知道P(A|B)或
P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不
要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．
盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是
红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【精彩点拨】 要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别． 【规范解答】 设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：
玻璃球 木质球 总计 红球 2 3 5 蓝球 4 7 11 总计 6 10 16 3 / 18