高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com
课时训练37 不等式的证明（二）
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分）
a2b2?1.设0＜x＜1,a、b为正常数，的最小值是（ ） x1?xA.4ab B.2(a2+b2) C.(a+b)2 D.(a-b)2 答案：C
?a2b2?解析：令x=cosθ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥
2x1?x2
a2+b2+2ab=(a+b)2.
2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是（ ）
A.［-25，25］ B.［-210，210］ C.［-10，10］ D.［0，10］ 答案：A
解析：设a=10cosθ,b=10sinθ,则a-b=10 (cosθ-sinθ)=25·cos(θ+-25,25］.
3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是（ ）
A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b) B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b) C.acos2??)∈［4?bsin?=a+b D.acos??bsin?＞a+b
222答案：A
解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).
4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B
解析：a+2b＞0?a·+b＞0?f(
121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］21?f()＞0?a+2b＞0.
25.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在［1，+∞）上为增函数.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是( ) A.f(-x1)＞f(-x2) B.f(-x1)＜f(-x2)
C.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案：A
解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x). 又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，
京翰教育1对1家教 http://www.zgjhjy.com/
高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com
故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).
6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立，且在［-2，0］上单调递增，a=f(
37),b=f(),c=f(log18)，则下列成立的是( )
222A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.c＞a＞b
答案：B
解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),
∴T=4,而f（x）在R上为偶函数又在［-2，0］上单调递增，所以f(x)在［0，2］上单调递减. b=f(
1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f(). 22222∵
31＞1＞,∴b＞c＞a. 22227.设a、b、c、d∈R，m=a2?b2+c2?d2,n=(a?c)?(b?d),则( )
A.m＜n B.m＞n C.m≤n D.m≥n 答案：D
解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0), ∵|OA|+|OB|≥|AB|, ∴得m≥n.
二、填空题（每小题5分，共15分） 8.设x＞0,y＞0,A=答案：A＜B 解析：A=
x?yxy?,B=,则A，B的大小关系是__________________.
1?x?y1?x1?yxyxy???=B.
1?x?y1?x?yx?11?y9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是____________. 答案：-2
解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+-2.
10.设｛an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________. 答案：［-552，552］
?),∴k≤-2.∴k的最大值为4a?a112a?a11a?a11解析：由1≥(1)?1∈［-52,52］.
222∴S=a1+a2+…+a11
京翰教育1对1家教 http://www.zgjhjy.com/
22高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =
11(a1+a11)∈［-552,552］. 2三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.若x,y均为正数，且x+y＞2. 求证:
1?y1?x与中至少有一个小于2. xy1?y1?x1?y1?x与均不小于2，即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy证明：假设
2+x+y≥2(x+y)，
推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.
n(n?1)(n?1)212.已知an=1?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N),求证：＜an＜对n∈N*
22*
恒成立.
证明：an＞12?22+…+n2=1+2+3+…+n=
n(n?1), 21nn2?2n(n?1)2而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.
222213.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,
求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0. 证明：∵z=-x-y,
∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,
∴原不等式?f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0. (*) ∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c), a,b,c为三角三边，∴Δ＜0.
∴b2＞0,∴f(x)＞0对x∈R恒成立，即（*）表示， ∴原不等式得证. 14.已知：a∈R+,求证：a+
4?a1a?4a≥
17. 4证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2a?14=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)
ta∴f(t)=(t?12
)+2在t≥4上递增. t117=得证. 44∴f(t)≥f(4)=4+
京翰教育1对1家教 http://www.zgjhjy.com/