2011高考数学单元复习训练不等式的证明

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课时训练37 不等式的证明(二)

【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟. 一、选择题(每小题6分,共42分)

a2b2?1.设0<x<1,a、b为正常数,的最小值是( ) x1?xA.4ab B.2(a2+b2) C.(a+b)2 D.(a-b)2 答案:C

?a2b2?解析:令x=cosθ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥

2x1?x2

a2+b2+2ab=(a+b)2.

2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )

A.[-25,25] B.[-210,210] C.[-10,10] D.[0,10] 答案:A

解析:设a=10cosθ,b=10sinθ,则a-b=10 (cosθ-sinθ)=25·cos(θ+-25,25].

3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是( )

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb<lg(a+b) B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb>lg(a+b) C.acos2??)∈[4?bsin?=a+b D.acos??bsin?>a+b

222答案:A

解析:cos2θlga+sin2θlgb<cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).

4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B

解析:a+2b>0?a·+b>0?f(

121)>0,不能推出f(x)>0,x∈[0,1];反之,f(x)>0,x∈[0,1]21?f()>0?a+2b>0.

25.(2010重庆万州区一模,7)已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数.若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是( ) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2) D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案:A

解析:y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x). 又x1+x2<-2,-x1>2+x2>2,

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故f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).

6.(2010湖北十一校大联考,9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立,且在[-2,0]上单调递增,a=f(

37),b=f(),c=f(log18),则下列成立的是( )

222A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b

答案:B

解析:由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),

∴T=4,而f(x)在R上为偶函数又在[-2,0]上单调递增,所以f(x)在[0,2]上单调递减. b=f(

1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f(). 22222∵

31>1>,∴b>c>a. 22227.设a、b、c、d∈R,m=a2?b2+c2?d2,n=(a?c)?(b?d),则( )

A.m<n B.m>n C.m≤n D.m≥n 答案:D

解析:设A(a,b),B(c,d),O(0,0), ∵|OA|+|OB|≥|AB|, ∴得m≥n.

二、填空题(每小题5分,共15分) 8.设x>0,y>0,A=答案:A<B 解析:A=

x?yxy?,B=,则A,B的大小关系是__________________.

1?x?y1?x1?yxyxy???=B.

1?x?y1?x?yx?11?y9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立,则k的最大值是____________. 答案:-2

解析:设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+-2.

10.设{an}是等差数列,且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________. 答案:[-552,552]

?),∴k≤-2.∴k的最大值为4a?a112a?a11a?a11解析:由1≥(1)?1∈[-52,52].

222∴S=a1+a2+…+a11

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=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =

11(a1+a11)∈[-552,552]. 2三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分) 11.若x,y均为正数,且x+y>2. 求证:

1?y1?x与中至少有一个小于2. xy1?y1?x1?y1?x与均不小于2,即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy证明:假设

2+x+y≥2(x+y),

推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.

n(n?1)(n?1)212.已知an=1?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N),求证:<an<对n∈N*

22*

恒成立.

证明:an>12?22+…+n2=1+2+3+…+n=

n(n?1), 21nn2?2n(n?1)2而an<[(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))]=+(1+2+3+…+n)=<.

222213.若a,b,c为三角形三边,x,y,z∈R,x+y+z=0,

求证:a2yz+bzzx+c2xy≤0. 证明:∵z=-x-y,

∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,

∴原不等式?f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0. (*) ∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=[(a2+b2+2ab)-c2][(a2+b2-2ab)-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c), a,b,c为三角三边,∴Δ<0.

∴b2>0,∴f(x)>0对x∈R恒成立,即(*)表示, ∴原不等式得证. 14.已知:a∈R+,求证:a+

4?a1a?4a≥

17. 4证明:∵a∈R+,设t=a+4a≥2a?14=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)

ta∴f(t)=(t?12

)+2在t≥4上递增. t117=得证. 44∴f(t)≥f(4)=4+

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