?Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
答：首先，由y?f?k?求反函数可得，k?f?1?y?，令k?g?y??f-1?y?，即k可以表示成y的函数；又由于在索洛模型中，y是由k的值所决定的，因而y可以表示为k的函数，从而可以表示为y的函数，即有：y?y?y?。特别地，当k?k时，y?y?y???0。
*?????函数y?y?y?在y?y*处的一阶泰勒展式为：
?? （1）
令????y?y?/?yy?y???，则上式可以简化为：
*?Y?t????yt?y（2） ????
方程（2）表明，在平衡增长路径附近，y移向y*的速度几乎与y和y*之间的距离成比例。也就是说，y?t??y*的增长率近似于一个固定的常数?，这意味着
* y?t?y*?e??t??y?0??y?? （3）
其中，y?0?是y的初始值。
其次，确定?的值。对生产函数y?f?k?两端关于时间t求导数可得：
y?f??k?k （4）
??而教材中资本积累的方程为：
k?sf?k???n?g???k （5）
?由方程（4）和（5）可得：
y?f'?k??（6） ?sf?k???n?g???k??
?方程（6）两端对k求导可得：
?y?f???k??（7） ?sf?k???n?g???k???f??k???sf??k???n?g????? ?k?在平衡增长路径上，sf?k*???n?g???k*，因而方程（7）可以表示为：
（8）
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
由于k?g?y?，其中g????f?1???，从而有：
（9）
由方程（8）和（9）可得：
综上可得： （10）
因为在平衡增长路径上，s??n?g???k*/f?k*?，从而方程（10）可以表示为：
（11）
又由于???kf??k?/f?k?，所以方程（11）可以简化为：
*综上所述，在平衡增长路径附近，y以近似于?的不变速度收敛于1??k???K???n?g???平衡增长路径值。
1.12 物化（embodied）的技术进步（索洛，1960；萨托，1966）。有关技术进步的一种观点是，在t时刻建立的资本品的生产力依存于t时刻的技术状态，并且不受后续技术进步的影响。这便是众所共知的物化的技术进步（技术进步在其可提高产出之前，必须“物化”在新资本中）。这个习题要求去探讨其效应。
（a）作为一个前提，把基本的索洛模型修改为技术进步是资本增加型的而非劳动增加型的，使得一个平衡增长路径存在。假设生产函数是柯布—道格拉斯型的，
Y?t????A?t?K?t???L?t??1??。假设A以如下的速率?增长：A?t???A?t?。
?证明经济收敛于平衡增长路径，并且求出平衡增长路径上的Y与K的增长率。（提示：证明可把Y/?A?L?写成K/?A?L?的函数，这里???/?1???，然后分析K/?A?L?的动态学。）
（b）现在考虑物化的技术进步。特别地，设生产函数为Y?t??J?t?L?t???1??，式中J?t?是有效资本存量，J?t?的动态学为J?t??sA?t?Y?t???J?t?。在这个表达式中A?t?的出现意
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
味着在t时刻，投资的生产力依存t时刻的技术。
证明经济收敛于平衡增长路径。在平衡增长路径上，Y与J的增长率是多少？（提示：令J?t??J?t?/A?t?。然后利用像（a）一样的分析方法，主要集中于用J/?A?L?替代K/?A?L?。
（c）在平衡增长路径上，产出关于s的弹性是什么？
（d）在平衡增长路径邻近区域，经济怎样快速地收敛于平衡增长路径？
（e）将（c）与（d）中得出的结论与课文中基本的索洛模型得出的相应结论进行比较。 答：（a）A以Y?F?K，AL?的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；A以Y?F?AK，L?的形式进入，则技术进步为资本增加型的；A以Y?AF?K，L?的形式进入，
则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。 资本增进型的技术进步的生产函数的形式为：
Y?t????A?t?K?t???L?t??1?? （1）
在方程（1）左右两边同时除以A?t??/?1???L?t?，可得：
上式再简化为：
定义：???/?1???，k?t??K?t?/A?t?L?t?及y?t??Y?t?/A?t?L?t?，代入上式，可得：
（2） y?t??k?t? 为求k的动态学，将k?t??K?t?/A?t?L?t?）两边求导数得：
????
即：
将k?t??K?t?/A?t?L?t?，A?t?/A?t???及L?t?/L?t??n代入上式，可得：
k?t??K?t?/A?t?L?t?????+n?k?t? （3）
??????总资本存量的动态方程式为：
K?t??sY?t???K?t? （4）
?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
?
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
将方程（4）代入（3），可得：
k?t??sY?t?/A?t?L?t???K?t?/A?t?L?t??????n?k?t??sy?t??????n???k?t?
??将方程（2）代入上式，可得：
k?t??sk?t??????n???k?t? （5）
??方程（5）与索洛模型（劳动增进型）中的资本动态方程非常相似。不过，本模型用A?t?L?t?而不是用有效劳动A?t?L?t?）来衡量资本。图1-11是k的变化图。
?
图1-11 k收敛于k*
当每单位A?t?L?t?的实际投资超过每单位A?t?L?t?的持平投资????n???k?t?时，k将上升趋向于k*；反之，当每单位A?t?L?t?的实际投资小于每单位A?t?L?t?的持平投资
????????n???k?t?时，k将下降趋向于k*。忽略k为0的情况，经济将在k?k*时收敛到平衡
增长路径。因为y?t??k?t?，所以当k?k*时，y也将保持不变。
再分析总的情况：总资本K为A?Lk，由于k保持不变，因此k的增长率为???n；同理，总产出Y为A?Ly，由于y保持不变，因此Y的增长率为???n。由于A和L被假定按既定的速率增长，因此，由于所有的变量均按既定的速率增长，经济收敛到平衡增长路径。 （b）考虑物化的技术进步的情况。 生产函数的形式为：
Y?t??J?t?L?t??1??? （6）
定义J?t??J?t?/A?t?，代入方程（6），生产函数的形式可以重写为：
__1????Y?t???A?t?J?t??L?t? （7）
???对方程（7）两边同时除以A?t??/1??L?t?，得：
（8）
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
得：
?Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
?定义???/?1???，j?t??J?t?/A?t?L?t?及y?t??Y?t?/A?t?L?t?，代入方程（8），可
y?t??j?t? （9）
?为分析j?t?的动态学，对j?t??J?t?/A?t?L?t?两边取导数，即：
?
将j?t??J?t?/A?t?L?t?，A?t?/A?t???及L?t?/L?t??n代入上式，可得：
????j?t??J?t?/A?t?L?t??????n?j?t? （10）
???为求得J?t?表达式，对J?t??J?t?/A?t?两边取导数，即：
?
???将J?t??J?t?/A?t?，A?t?/A?t???及J?t???sA?t?Y?t???J?t?代入上式，可得： ??
上式再简化为：
J?sY?t???????J?t? （11）
?将方程（11）代入（10），可得：
将y?t??j?t?代入上式，可得：
??j?t??sj?t????n?????1?????j?t? （12）
?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解