习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为?，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。
解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设u?0,v?0,w?w(z)。这样就得
?u?v?wdw?e?e?ed2we????，??0,?2。
?x?y?zdz?x?y?zdz因为半空间无限大弹性体体力分量
q0x图3-7 所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：
z??1?e?G???2u??X?0??1?2??x??1?e???G???2v??Y?0? ?1?2??x???1?e??G???2w??Z?0??1?2??x???1d2wd2w?而在z向的平衡微分方程为G??1?2?dz2?dz2????g?0，简化后得
???1?2???g （a） d2w??2G?1???dz2积分后得 e?dw(1?2?)?g?z?A? （b） ??dz2G?1???(1?2?)?g?z?A?2?B （c）
4G?1??? w??其中A和B为积分常数。
现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
??u?v???u???e??,?xy?G???,????x??1?2???y?x??????v?w???v????y?2G?e?,??G?1?2??yz??w??y??,? （d） ?y??????w?????u?w???z?2G?e??,?zx?G????1?2??z?z?x??????x?2G??x??y??得
?1???z???g?z?A?,?g?z?A?,???? （e） ????xy??yz??zx?0在边界面上（z=0面）X?Y?0,Z?q，即?z式得应力分量：
z?0??q，代入（e）式得A?q。再回代（e）?g?x??y????gz?q???1????z????gz?q?? （f）
???2??xy??yz??zx?0(1?2?)?g?q???并由（c）式得z向位移w??z???B （g） 4G?1?????g??为了确定常数B，必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0，代入（g）式得
B?再回代（g）式得位移分量：
?1?2???g?q???h??4G?1?????g??2。
w?(1?2?)2q?h?z???gh2?z2，
4G?1???????至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。
解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程
?E?1????d2uR2duR2???KR?0得微分方程 ??u22R???1????1?2???dRRdRR?解此微分方程得（其中A，B为积分常数）
uR?AR?B （a） R2将uR代入以位移分量表示应力的物理方程 得应力分量的表达式：
?R?E2EBA?, （b） 31?2?1??REEB???A?, （c）
1?2?1??R3代入如下边界条件：
?RR?a??Pi,?RR?b??Pe求解A和B得
a3Pi?b3Pea3b3?Pi?Pe??1?2??,B??1??? （d） A?3333Eb?a2Eb?a????将(d)式代入(a)式得径向位移
?b31?2?a31?2?????3?1???R?2R31??2R1??uR?Pi?Pe?。 （e） ?33baE???11?33??ab??将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力?R和切向正应力??（?R和??就是主应力）：
第四章 弹性平面问题的习题 习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力?x由材料力学公式给出，试由平衡方程求出?xy及?y，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？ qoy图4-1 解： （1）由材料力学公式求正应力?x： d2M?x??q?x?,现在 而2dx?qd2M?x??qx,即?x，解此微分方程得 q?x??2ldxlQ?x??dM?x??q2?q3?x?C1，M?x??x?C1x?C0， dx2l6l其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下：
M?x?x?0?0?C0?0， Q?x?x?0?0?C1?0。
?q32qx3yx??x?? ?M?x??。 6llh3（2）据弹性力学平衡方程求?xy及?y
???x??xy??Fx?0???x?y据弹性力学平面问题平衡微分方程?，不计体力，即Fx?Fy?0，
??xy??y???Fy?0??x?y??2qx3y????lh3??????xy6qx2yxy??得 ?， ??0???x?y?ylh3由积分此式得
?xy用边界条件确定待定函数f1?x?：
3qx2y2??f1?x?， 3lh?xyy??h23qx23qx2y23qx2?0?f1?x???,??xy??，它也满足?xy4lh4lhlh3??y??yx?0?0。
6qxy23qx??0????同时，积分此式得 3?x?y?y2lhlh??xy2qxy33qxy?y????f2?x?，
2lhlh3由边界条件确定待定函数f2?x?
?yx?0?0?f2?x?x?0?0,?yhy??2??qxqx?f2?x???。故 l2l?0。
2qxy33qxyqx?y????,它也满足?y2lh2llh3（3）验证应力分量表示的协调方程
y?h22现在不计体力，即Fx?Fy?0，应力分量应满足???x??y??0，
??2?2?即要求 ???x2??y2????x??y??0。
??而现在
??2?2?24qxy????????????0。 y3??x2?y2?xlh??故不能满足协调方程。
习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力） 解： （1）选择应力函数 R2=-qL/3R1=-qL/6oyq图4-2 载荷q沿x轴呈线性分布，可断定?y沿x轴呈线性分布。可令 且有边界条件?yx?0?0?C0?0 ?2?x3?xf2?y?，解此微分方程得 ??f2?y??xf1?y??f0?y?。 故?y??x26这样，应力函数?沿x轴的变化规律已定，而待定函数f2?y?，f1?y?，f0?y?只是坐标y的函数。 （2）检验域内方程
把应力函数?代入应力协调方程????0（无体力）得
22?d4f1d2f2?d4f0x3d4f2?x??dy4?2dy2???dy4?0， 6dy4??上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即
d4f0d4f2d4f1d2f2?0,4?2?0,?0。 dy4dydy2dy4解这些微分方程得
根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令N?0,Gy?R?0，于是
（3）检验边界条件，确定待定系数 上下边界为?yhy?2?0,?yhy??2??qx,?xyly??h2?0，
据?yy?h2?0,?yy??h2?h3h2hA?B?C?D?0qx??842??得?， 32hhhql??A?B?C?D???842l??h2qB?2D????l （a） 由以上两式分别相加、减得 ?23?Ah?Ch?q?4l?