习题13、如图所示，设有半空间无限大弹性体，单位体积的质量为?，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量（并假设在z=h处w=0）。
解：由于对称（任意铅直面都是对称面）试假设u?0,v?0,w?w(z)。这样就得
?u?v?wdw?e?e?ed2we????，??0,?2。
?x?y?zdz?x?y?zdz因为半空间无限大弹性体体力分量
q0x图3-7 所以上述假设在x，y向满足以位移表示的平衡微分方程：
z??1?e?G???2u??X?0??1?2??x??1?e???G???2v??Y?0? ?1?2??x???1?e??G???2w??Z?0??1?2??x???1d2wd2w?而在z向的平衡微分方程为G??1?2?dz2?dz2????g?0，简化后得
???1?2???g （a） d2w??2G?1???dz2积分后得 e?dw(1?2?)?g?z?A? （b） ??dz2G?1???(1?2?)?g?z?A?2?B （c）
4G?1??? w??其中A和B为积分常数。
现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
??u?v???u???e??,?xy?G???,????x??1?2???y?x??????v?w???v????y?2G?e?,??G?1?2??yz??w??y??,? （d） ?y??????w?????u?w???z?2G?e??,?zx?G????1?2??z?z?x??????x?2G??x??y??得
?1???z???g?z?A?,?g?z?A?,???? （e） ????xy??yz??zx?0在边界面上（z=0面）X?Y?0,Z?q，即?z式得应力分量：
z?0??q，代入（e）式得A?q。再回代（e）?g?x??y????gz?q???1????z????gz?q?? （f）
???2??xy??yz??zx?0(1?2?)?g?q???并由（c）式得z向位移w??z???B （g） 4G?1?????g??为了确定常数B，必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0，代入（g）式得
B?再回代（g）式得位移分量：
?1?2???g?q???h??4G?1?????g??2。
w?(1?2?)2q?h?z???gh2?z2，
4G?1???????至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a，外半径为b，内部作用着压力为Pi，外部压力为Pe，试用位移法求其应力分量（不计体力）。
解：这是一个空间球对称问题，体力KR=0，由位移分量表示的球对称平衡微分方程
?E?1????d2uR2duR2???KR?0得微分方程 ??u22R???1????1?2???dRRdRR?解此微分方程得（其中A，B为积分常数）
uR?AR?B （a） R2将uR代入以位移分量表示应力的物理方程 得应力分量的表达式：
?R?E2EBA?, （b） 31?2?1??REEB???A?, （c）
1?2?1??R3代入如下边界条件：
?RR?a??Pi,?RR?b??Pe求解A和B得
a3Pi?b3Pea3b3?Pi?Pe??1?2??,B??1??? （d） A?3333Eb?a2Eb?a????将(d)式代入(a)式得径向位移
?b31?2?a31?2?????3?1???R?2R31??2R1?