周益春-材料固体力学课后习题解答

习题13、如图所示,设有半空间无限大弹性体,单位体积的质量为?,在水平边界面上受均布压力q的作用,试用位移法求位移分量和应力分量(并假设在z=h处w=0)。

解:由于对称(任意铅直面都是对称面)试假设u?0,v?0,w?w(z)。这样就得

?u?v?wdw?e?e?ed2we????,??0,?2。

?x?y?zdz?x?y?zdz因为半空间无限大弹性体体力分量

q0x图3-7 所以上述假设在x,y向满足以位移表示的平衡微分方程:

z??1?e?G???2u??X?0??1?2??x??1?e???G???2v??Y?0? ?1?2??x???1?e??G???2w??Z?0??1?2??x???1d2wd2w?而在z向的平衡微分方程为G??1?2?dz2?dz2????g?0,简化后得

???1?2???g (a) d2w??2G?1???dz2积分后得 e?dw(1?2?)?g?z?A? (b) ??dz2G?1???(1?2?)?g?z?A?2?B (c)

4G?1??? w??其中A和B为积分常数。

现据边界条件来确定A和B。将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程

??u?v???u???e??,?xy?G???,????x??1?2???y?x??????v?w???v????y?2G?e?,??G?1?2??yz??w??y??,? (d) ?y??????w?????u?w???z?2G?e??,?zx?G????1?2??z?z?x??????x?2G??x??y??得

?1???z???g?z?A?,?g?z?A?,???? (e) ????xy??yz??zx?0在边界面上(z=0面)X?Y?0,Z?q,即?z式得应力分量:

z?0??q,代入(e)式得A?q。再回代(e)?g?x??y????gz?q???1????z????gz?q?? (f)

???2??xy??yz??zx?0(1?2?)?g?q???并由(c)式得z向位移w??z???B (g) 4G?1?????g??为了确定常数B,必须利用位移边界条件。由于在z=h处w=0,代入(g)式得

B?再回代(g)式得位移分量:

?1?2???g?q???h??4G?1?????g??2。

w?(1?2?)2q?h?z???gh2?z2,

4G?1???????至此位移分量和应力分量全部求出。

习题14、球形容器的内半径为a,外半径为b,内部作用着压力为Pi,外部压力为Pe,试用位移法求其应力分量(不计体力)。

解:这是一个空间球对称问题,体力KR=0,由位移分量表示的球对称平衡微分方程

?E?1????d2uR2duR2???KR?0得微分方程 ??u22R???1????1?2???dRRdRR?解此微分方程得(其中A,B为积分常数)

uR?AR?B (a) R2将uR代入以位移分量表示应力的物理方程 得应力分量的表达式:

?R?E2EBA?, (b) 31?2?1??REEB???A?, (c)

1?2?1??R3代入如下边界条件:

?RR?a??Pi,?RR?b??Pe求解A和B得

a3Pi?b3Pea3b3?Pi?Pe??1?2??,B??1??? (d) A?3333Eb?a2Eb?a????将(d)式代入(a)式得径向位移

?b31?2?a31?2?????3?1???R?2R31??2R1??uR?Pi?Pe?。 (e) ?33baE???11?33??ab??将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力?R和切向正应力??(?R和??就是主应力):

第四章 弹性平面问题的习题 习题1、已知悬臂梁如图所示,若梁的正应力?x由材料力学公式给出,试由平衡方程求出?xy及?y,并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程? qoy图4-1 解: (1)由材料力学公式求正应力?x: d2M?x??q?x?,现在 而2dx?qd2M?x??qx,即?x,解此微分方程得 q?x??2ldxlQ?x??dM?x??q2?q3?x?C1,M?x??x?C1x?C0, dx2l6l其中C1,C0为积分常数由边界条件确定如下:

M?x?x?0?0?C0?0, Q?x?x?0?0?C1?0。

?q32qx3yx??x?? ?M?x??。 6llh3(2)据弹性力学平衡方程求?xy及?y

???x??xy??Fx?0???x?y据弹性力学平面问题平衡微分方程?,不计体力,即Fx?Fy?0,

??xy??y???Fy?0??x?y??2qx3y????lh3??????xy6qx2yxy??得 ?, ??0???x?y?ylh3由积分此式得

?xy用边界条件确定待定函数f1?x?:

3qx2y2??f1?x?, 3lh?xyy??h23qx23qx2y23qx2?0?f1?x???,??xy??,它也满足?xy4lh4lhlh3??y??yx?0?0。

6qxy23qx??0????同时,积分此式得 3?x?y?y2lhlh??xy2qxy33qxy?y????f2?x?,

2lhlh3由边界条件确定待定函数f2?x?

?yx?0?0?f2?x?x?0?0,?yhy??2??qxqx?f2?x???。故 l2l?0。

2qxy33qxyqx?y????,它也满足?y2lh2llh3(3)验证应力分量表示的协调方程

y?h22现在不计体力,即Fx?Fy?0,应力分量应满足???x??y??0,

??2?2?即要求 ???x2??y2????x??y??0。

??而现在

??2?2?24qxy????????????0。 y3??x2?y2?xlh??故不能满足协调方程。

习题2、如图所示简支梁,承受线性分布载荷,试求应力函数及应力分量(不计体力) 解: (1)选择应力函数 R2=-qL/3R1=-qL/6oyq图4-2 载荷q沿x轴呈线性分布,可断定?y沿x轴呈线性分布。可令 且有边界条件?yx?0?0?C0?0 ?2?x3?xf2?y?,解此微分方程得 ??f2?y??xf1?y??f0?y?。 故?y??x26这样,应力函数?沿x轴的变化规律已定,而待定函数f2?y?,f1?y?,f0?y?只是坐标y的函数。 (2)检验域内方程

把应力函数?代入应力协调方程????0(无体力)得

22?d4f1d2f2?d4f0x3d4f2?x??dy4?2dy2???dy4?0, 6dy4??上式对于任意x均要满足,故x的各次幂的系数为零,即

d4f0d4f2d4f1d2f2?0,4?2?0,?0。 dy4dydy2dy4解这些微分方程得

根据应力函数的性质:艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度(即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小),可令N?0,Gy?R?0,于是

(3)检验边界条件,确定待定系数 上下边界为?yhy?2?0,?yhy??2??qx,?xyly??h2?0,

据?yy?h2?0,?yy??h2?h3h2hA?B?C?D?0qx??842??得?, 32hhhql??A?B?C?D???842l??h2qB?2D????l (a) 由以上两式分别相加、减得 ?23?Ah?Ch?q?4l?

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