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参考答案
(k?1)2k22kn?k21．（Ⅰ）P?1?(1?)?（Ⅱ）m?2k? n?2nn2【解析】本题是概率压轴题，难度大，文字多，考生不一定能够有时间去读懂，不仅如此还
考查到了分类讨论思想，难度更高一层，但细细想来，它也就那回事.第（1）题该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息要从反面角度去思考，没有收到信息的概率是什么，
k?1Cnk2k1(1?)，?由于A和B是相互独立，P(A)?P(B)??，没有收到信息的概率正好是knCnn所以最后的结果就能求出；第（2）题考查的考点比较多，而且n和k都是变量，遇到变量就要做好讨论的准备，于是本题要从k?n和k?n两个角度考虑.当k?n时，m?n，P(X?m)?P(X?n)?1；当k?n时，整数m满足k?m?t，其中t是2k和n中的较k2k?mm?km?kCnCkCn?kCkm?kCn?k?小者，从而表示出P(X?m)?，接着要根据题意找出不等关系：k2k(Cn)Cn(k?1)2(k?1)2P(X?m)?P(X?m?1)，化简分离出m?2k?，而2k?是否为整数，n?2n?2(k?1)2?t是否成立的问题，于是，接下来一方面需要讨需要讨论，还需要考虑k?2k?n?2(k?1)2?t，详细的解答如下. 论是否为整，另一方面要证明k?2k?n?2设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则A与B 相互独立，
k?1Cnk1?而P(A)?P(B)?? kCnn所以P(A)?P(B)?1?k n因此，学生甲收到活动通知信息的概率为
k22kn?k2P?1?(1?)?.
nn2当k?n时，m只能取n，有P(X?m)?P(X?n)?1 当k?n，整数m满足k?m?t，其中t是2k和n中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(Cn).
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当X?m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k?m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为m?k，则由乘法计数原理知：事件?X?m?所含基本事件数为CnCkk2k?mm?kkm?km?kCnCn?k ?k?CnCkk2k?mm?km?kCnCkCn?kCkm?kCn?k?此时P(X?m)? k2k(Cn)Cnm?km?km?1?km?1?kCn?k 当k?m?t，P(X?m)?P(X?m?1)?CkCn?k?Ck(k?1)2化简解得m?2k? n?2(k?1)2?t成立， 假如k?2k?n?2则当(k?1)能被n?2整除时，
2(k?1)2(k?1)2(k?1)2k?2k??2k?1??t，故P(X?m)在m?2k?n?2n?2n?2(k?1)2m?2k?1?处达到最大值；
n?2和
?(k?1)2?则当(k?1)不能被n?2整除时，P(X?m)在m?2k??处达最大值.（注：?x???n?2?2表示不超过x的最大整数）.
(k?1)2?t 下证：k?2k?n?2(k?1)2kn?k2?1k(k?1)?k2?1k?1?k????0， 因为1?k?n，所以2k?n?2n?2n?2n?2(k?1)2(k?1)2(k?1)2(n?k?1)2?n，显然2k??2k. 2k??n???0，故2k?n?2n?2n?2n?2(k?1)2?t. 因此k?2k?n?2【考点定位】考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识.，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 2．（Ⅰ）X?n?2的概率为nn?1? m?nm?n?2答案第2页，总9页
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（Ⅱ）求X的均值为n?1 【解析】（I）X?n?2表示两次调题均为A类型试题，概率为nn?1? m?nm?n?2（Ⅱ）m?n时，每次调用的是A类型试题的概率为p?1随机变量X可取n,n?1,n?2 2P(X?n)?(1?p)2?X P 1112，P(X?n?1)?2p(1?p)?，P(X?n?2)?p? 424n 1 4n?1 1 2n?2 1 4111EX?n??(n?1)??(n?2)??n?1 424【
答
案
】
【解析】略
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4．
【解析】 5．
(Ⅰ)甲同学能进入下一轮的概率为1-（（Ⅱ）?可能取2，3，4，则
1111231213???????）?； 4242342324P(?=2)=11131231111110?=；P(?=3)=??+??+??=； 4284234234232431211231111??+????=， 42342342324P(?=4)=所以?的分布列为
? P(?) 2 3 4
1 81101110+3?+4?=。 82432410 2411 24数学期望E?=2?【解析】
(Ⅰ)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1-（1111231213???????）?； 4242342324（Ⅱ）?可能取2，3，4，则
P(?=2)=11131231111110?=；P(?=3)=??+??+??=； 4284234234232431211231111??+????=， 42342342324P(?=4)=所以?的分布列为
? P(?) 2 3 4
1 810 2411 24答案第4页，总9页
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数学期望E?=2?1101110+3?+4?=。 824324【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以
及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 6．(I) 1133;(II) .
6036【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出①2袋食品的三道工序都不合格的概率P1，②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格的概率P2，③两袋都有两道工序不合格的概率P1?P2?P3?3，则所求的概率为P?P1;（Ⅱ）由题意可得36??0,1,2,3，求出离散型随机变量的取每个值的概率，即得?的分布列，由分布列求出期望．
试题解析：(I) 2袋食品都为废品的情况为： ①2袋食品的三道工序都不合格P1?(??)?都
不
合
格
，
另
一
袋
有
两
11124351；②有一袋食品三道工序3600道
工
序
不
合
格
1P2?C2?13111211141?(????????)?; ③两袋都有两道工序不合格604354354352003111211149P3?(????????)2?;所以2袋食品都为废品的概率为
435435435400P?P1?P2?P3?1; 36（Ⅱ）由题意可得??0,1,2,3，P(??0)?(1?)?(1?)?(1?)?3423451， 6031112111433242P(??1)??????????，P(??3)????，
435435435204355故P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?13P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）30﹣P（ξ=3）=，得到ξ的分布列如下：
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