页眉 泛函分析知识点
知识体系概述
（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子
1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得?x,y,z?X,下列距离公理成立：
（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x);
（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);
则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d） 2.几类空间
例1 离散的度量空间 例2 序列空间S
例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)
例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l2
第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球
定义 设（X,d）为度量空间，d是距离，定义
U(x0, ?)＝{x ∈X | d(x, x0)
为x0的以?为半径的开球，亦称为x0的?一领域. 2. 极限
定义 若{xn }?X, ?x?X, s.t. limd?xn,x??0 则称x是点列{xn }的极限.
n??3. 有界集
定义 若d?A??supd?x,y???，则称A有界
?x,y?A4. 稠密集
定义 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果E?M,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。 5. 可分空间
定义 如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。
第三节 连续映射
1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0?X,如果对于任意给定的正数?，存在正数??0，使对X中一切满足
~ d?x,x0???的x，有
d?Tx,Tx0???~，
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页眉 则称T在
x0连续.
?~??Y,d??中的映射，那么T在x0是度量空间（X,d）到度量空间?2.定理1 设T
?X连续的充
要条件为当xn?x0?n???时，必有Txn?Tx0?n???
3.定理2 度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T?1M是X中的开集.
第四节 柯西（cauchy）点列和完备度量空间
1.定义 设X=(X,d)是度量空间，?xn?是X中点列，如果对任意给定的正数??0，
存在正整数N?N???,使当n,m>N时，必有
d?xn,xm???，
则称?xn?是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在 （X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.
【注意】（1）Q不是完备集 （2）R完备
（3）cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy列. （4）C[a,b]完备
2.定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化
1.定义 设（X,d）,( X,d)是两个度量空间，如果存在X到X上的保距映射T，即d?Tx,Ty??d?x,y?，则称（X,d）和( X,d)等距同构，此时T称为X到X上等距同构映射。
2.定理1（度量空间的完备化定理） 设X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完
~~~~n~~~~~~备度量空间X=( X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同
构意义下是唯一的，即若( X,d)也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等距同构，则( X,d)与( X,d)等距同构