高等代数(北大版)第7章习题参考答案 ()

七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:

1) 在线性空间V中,A?????,其中??V是一固定的向量; 2) 在线性空间V中,A???其中??V是一固定的向量;

22(x,x,x)?(x,x?x,x); 12312333) 在P中,A3(x,x,x)?(2x1?x2,x2?x3,x1);

4) 在P中,A1235) 在P[x]中,Af(x)?f(x?1) ;

36) 在P[x]中,An?n

f(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数;

n?n

7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A???。

8) 在P中,AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是。 2)当??0时,是;当??0时,不是。

3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?)。

4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有

A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)

=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1) = A?+ A?, A(k?)? A(kx1,kx2,kx3) ?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) = kA(?),

3 故A是P上的线性变换。

5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令

u(x)?f(x)?g(x)则

A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x)), 再令v(x)?kf(x)则A(kf(x))? A(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x)), 故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则.

A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x)), A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x))。 7)不是,例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a)。

8)是,因任取二矩阵X,Y?Pn?n,则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY,

A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX,故A是Pn?n上的线性变换。 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换,证明:A4=B4=C4=E,AB?BA,A2B2=B2A2,并检验(AB)2=A2B2是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为

Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z),A3a=(x,z,-y), A4a=(x,y,z), Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z),B3a=(-z,y,x), B4a=(x,y,z), Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z),C3a=(y,-x,z), C4a=(x,y,z),

所以A=B=C=E。

2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x), 所以AB?BA。

3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z),BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z), 所以AB=BA。

4)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),AB(a)=(-x,-y,z),

222所以(AB)?AB。

22222222222224443.在P[x] 中,Af(x)?f(x),Bf(x)?xf(x),证明:AB-BA=E。 证 任取f(x)?P[x],则有

'(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)?xf(x)-xf(x)=f(x)

;'

'所以 AB-BA=E。 4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:AB-BA=kA证 采用数学归纳法。当k=2时

kkk?1

(k>1)。

A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。 归纳假设k?m时结论成立,即AB-BA=mAmmm?1。则当k?m?1时,有

Am?1B-BAm?1=(Am?1B-AmBA)+(AmBA-BAm?1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm?1A=(m?1)Am。 即k?m?1时结论成立.故对一切k?1结论成立。 5.证明:可逆变换是双射。

证 设A是可逆变换,它的逆变换为A?1。

若a?b,则必有Aa?Ab,不然设Aa=Ab,两边左乘A?1,有a=b,这与条件矛盾。 其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A?1b=a即可。因此,A是一个双射。 6.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。证明:A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。

证 因A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A,

故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关,故A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵;

2) [o; ?1,?2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的

垂直投影,B是平面上的向量对?2的垂直投影,求A,B,AB在基?1,?2下的矩阵; 3) 在空间P[x]n中,设变换A为f(x)?f(x?1)?f(x), 试求A在基?i=x(x?1)?(x?i?1)4) 六个函数 ?1=e

ax1 (I=1,2,?,n-1)下的矩阵A; i!sinbx,?3=xe

axcosbx,?2=e

axcosbx,?4=xe

axsinbx,

11?1=x2eaxcosbx,?1=eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性

22空间,求微分变换D在基?i(i=1,2,?,6)下的矩阵;

5) 已知P中线性变换A在基?1=(-1,1,1),?2=(1,0,-1),?3=(0,1,1)下的矩阵是

3?101???110??,求A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵; ??121???6) 在P中,A定义如下:

3?A?1?(?5,0,3)??A?2?(0,?1,6), ?A??(?5,?1,9)?3其中

??1?(?1,0,2)???2?(0,1,1), ???(3,?1,0)?3求在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A在?1,?2,?3下的矩阵。

解 1) A?1=(2,0,1)=2?1+?3,A?2=(-1,1,0)=-?1+?2,A?3=(0,1,0)= ?2,

?2?10???故在基?1,?2,?3下的矩阵为?011?。

?100???2)取?1=(1,0),?2=(0,1),则A?1=1111?1+?2,A?2=?1+?2,

2222?1?故A在基?1,?2下的矩阵为A=?21???21??2?。 1??2??00??2下的矩阵为B=??2=A又因为B?1=0,B?2=?2,所以B在基?1,另外,(AB)(B?2)?01??,

??=A?2=

11?1+?2,

22??0所以AB在基?1,?2下的矩阵为AB=???0?3)因为 ?0?1,?1?x,?2?所以A?0?1?1?0,

1??2?。 1??2?x(x?1)x(x?1)?[x?(n?2)],?,?n?1?, 2!(n?1)!A?1?(x?1)?x??0, A?n?1?(x?1)x?[x?(n?3)]x(x?1)?[x?(n?2)]? (n?1)!(n?1)!=x(x?1)?[x?(n?3)]{(x?1)?[x?(n?2)]}

(n?1)!=?n?2,

?01???01??所以A在基?0,?1,?,?n?1下的矩阵为A=????。

???1???0???4)因为 D?1=a?1-b?2,

D?2=b?1-a?2,?6, D?3=?1+a?3-b?4, D?4=?2+b?3+a?4, D?5=?3+a?5-b?6, D?6=?4+b?5+a?6,

?a???b?0所以D在给定基下的矩阵为D=??0?0??0?ba10010ab0?ba0000000??00?10?0?。 01?ab???ba??0??110???01?,所以 5)因为(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?1?1?11?????11?1???(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?01?1?=(?1,?2,?3)X,

?101???故A在基?1,?2,?3下的矩阵为

??110??101???11?1???11?2??????????101??110??01?1?=?220?。 B=XAX=?1?1?11???121??101??302?????????

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