??103???6）因为(?1,?2,?3)=(?1,?2，?3)?01?1?，
??210????103所以A(?????01?1?1,2,?3)=A(?1,?2，?3)?,
??210????50?5?但已知A(?)=(???1,?2,?31,?2，?3)?0?1?1?，
??369????50?5??故A(?,???11,?2，?3)=(?12，?3)?0?1?1???103?01?1?
?????369????210?????33???5?17=(???0?5???767?1?1,?2，3)?0?1?1?2????369????7?2?717? 1??777?????520?20??=(??74?75?7?2?1,?2，?3)????77?。 ?2718724??777????17）因为(???03???11,?2，?3)=(1,?2,?3)?01?1，
???210?????50?5?所以A(???103??1?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?01?1????0?1?1?? ?210????369???235=(????1?1,?2,?3)??10?。
???110??8．在P
2?2
中定义线性变换Aab??cd??X, A(X)=X??2?ab???cd??, A(X)= ??2?a1(X)=?????c求A1, A2, A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 b?d??X???ab???cd??,? 解 因 A1E11=a E11+cE12, A1E12=a E12+c E22,
A1E21=bE11+dE21, A1E22= bE21+d E22,
?a??0故A1在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A1=?c??0?又因A2E11=a E11+b E12, A2E12= cE11+dE12,
0acb000d0??b?。 0??d??A2E21= aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22,
?ac??bd故A2在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A2=?00??00?又因A3E11= aE11+abE12+acE21+bcE22，
20??00?。 ?ac?bd??0A3E12= acE11+adE12+c2E21+cdE22， A3E21= abE11+b2E12+adE21+bdE22， A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21+d2E22，
?a2ac??abad故A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A3??acc2??bccd?abb2adbdbc??bd?。 ?cd?2?d?9.设三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为
?a11?A=?a21?a?31a12a22a32a13??a23?， a33??1) 求A在基?3,?2,?1下的矩阵；
2) 求A在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中且； 3) 求A在基?1??2,?2,?3下的矩阵。 解 1)因A?3=a33?3+a23?2?a13?1，
A?2=a32?3?a22?2?a12?1， A?1=a31?3?a21?2?a11?1， ?a33?故A在基?3,?2,?1下的矩阵为B3??a23?a?132)因 A?1=a11?1+a32a22a12a31??a21?。 a11??a21(k?2)?a31?3， k A(k?2)=ka12?1+a22(k?2)+ka32?3， A?3=a13?1+
a23(k?2)+a33?3， kka12a22ka32a13?a23??。 k?a33??因
?a11?a故A在?1,k?2,?3下的矩阵为 B2??21?k?a31?3)
A(?1??2)=(a11?a12)(?1??3)+(a21?a22?a11?a12)?2+(a31?a32)?3， A?2=a12(?1??2)+(a22?a12)?2+a32?3， A?3=a13(?1??2)+(a23?a13)?2+a33?3，
a11?a12??故A基?1??2,?2,?3下的矩阵为B3??a21?a22?a11?a12?a31?a32?10. 设A是线性空间V上的线性变换，如果Ak?1a12a22?a12a32??a23?a13?。 a33??a13??0,但Ak?=0，求证：
?,A?,?, Ak?1?(k>0)线性无关。
k?1证 设有线性关系l1??l2A????lkA??0，
用Ak?1
作用于上式,得
k?1 l1 A?=0(因An??0对一切n?k均成立)， ??0,所以l1?0,于是有
又因为Ak?1l2A??l3A2????lkAk?1??0，
再用Ak?2作用之,得l2 Ak?1?=0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去,便可得
l1?l2???lk?0, 即证?,A?,?, Ak?1?(k>0)线性无关。
n?111.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量?使得A??0，求证A在某组下的矩阵
?0???10???。 是 ?1????0???10???证 由上题知, ?,A?,A?,?, A2n?12n?1?线性无关，故?,A?,A?,?, A?为线性空
间V的一组基。又因为A??0???1?A??0? A?+??0? A
2n?1?，
A(A?)=0??+0? A?+1? A2?+??0? An?1?，
……………………………
A（An?1?）=0??+0? A?+0? A 2?+??0? An?1? ， 故A在这组基下的矩阵为
?0????10??。 ?1????0???10???12． 设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。
证 因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。 13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证 设A在基?1,?2,?,?n下的矩阵为A=(aij)，只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且
(?1,?2,?n)=(?1,?2,?,?n)X，
则?1,?2,,?n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X?1AX，从而有AX=XA，这说
明A与一切非退化矩阵可交换。 若取
?1???2??X1??，
?????n???则由AX1=X1A知aij=0(i?j)，即得
?a11??A=????再取
a22????， ??ann???010?0????001?0?X2=???????
???000?1??100?0???由AX2=X2A，可得 a11?a22???ann。
故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。
14.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
0?1???12?12??2?2?1??13?，
55??1?2??21) 求A在基?1??1?22??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?4?2?4下 的矩阵； 2) 求A的核与值域；
3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵；
4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知