高等代数(北大版)第7章习题参考答案 ()

??103???6)因为(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?01?1?,

??210????103所以A(?????01?1?1,2,?3)=A(?1,?2,?3)?,

??210????50?5?但已知A(?)=(???1,?2,?31,?2,?3)?0?1?1?,

??369????50?5??故A(?,???11,?2,?3)=(?12,?3)?0?1?1???103?01?1?

?????369????210?????33???5?17=(???0?5???767?1?1,?2,3)?0?1?1?2????369????7?2?717? 1??777?????520?20??=(??74?75?7?2?1,?2,?3)????77?。 ?2718724??777????17)因为(???03???11,?2,?3)=(1,?2,?3)?01?1,

???210?????50?5?所以A(???103??1?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)?01?1????0?1?1?? ?210????369???235=(????1?1,?2,?3)??10?。

???110??8.在P

2?2

中定义线性变换Aab??cd??X, A(X)=X??2?ab???cd??, A(X)= ??2?a1(X)=?????c求A1, A2, A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 b?d??X???ab???cd??,? 解 因 A1E11=a E11+cE12, A1E12=a E12+c E22,

A1E21=bE11+dE21, A1E22= bE21+d E22,

?a??0故A1在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A1=?c??0?又因A2E11=a E11+b E12, A2E12= cE11+dE12,

0acb000d0??b?。 0??d??A2E21= aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22,

?ac??bd故A2在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A2=?00??00?又因A3E11= aE11+abE12+acE21+bcE22,

20??00?。 ?ac?bd??0A3E12= acE11+adE12+c2E21+cdE22, A3E21= abE11+b2E12+adE21+bdE22, A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21+d2E22,

?a2ac??abad故A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为A3??acc2??bccd?abb2adbdbc??bd?。 ?cd?2?d?9.设三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为

?a11?A=?a21?a?31a12a22a32a13??a23?, a33??1) 求A在基?3,?2,?1下的矩阵;

2) 求A在基?1,k?2,?3下的矩阵,其中且; 3) 求A在基?1??2,?2,?3下的矩阵。 解 1)因A?3=a33?3+a23?2?a13?1,

A?2=a32?3?a22?2?a12?1, A?1=a31?3?a21?2?a11?1, ?a33?故A在基?3,?2,?1下的矩阵为B3??a23?a?132)因 A?1=a11?1+a32a22a12a31??a21?。 a11??a21(k?2)?a31?3, k A(k?2)=ka12?1+a22(k?2)+ka32?3, A?3=a13?1+

a23(k?2)+a33?3, kka12a22ka32a13?a23??。 k?a33??因

?a11?a故A在?1,k?2,?3下的矩阵为 B2??21?k?a31?3)

A(?1??2)=(a11?a12)(?1??3)+(a21?a22?a11?a12)?2+(a31?a32)?3, A?2=a12(?1??2)+(a22?a12)?2+a32?3, A?3=a13(?1??2)+(a23?a13)?2+a33?3,

a11?a12??故A基?1??2,?2,?3下的矩阵为B3??a21?a22?a11?a12?a31?a32?10. 设A是线性空间V上的线性变换,如果Ak?1a12a22?a12a32??a23?a13?。 a33??a13??0,但Ak?=0,求证:

?,A?,?, Ak?1?(k>0)线性无关。

k?1证 设有线性关系l1??l2A????lkA??0,

用Ak?1

作用于上式,得

k?1 l1 A?=0(因An??0对一切n?k均成立), ??0,所以l1?0,于是有

又因为Ak?1l2A??l3A2????lkAk?1??0,

再用Ak?2作用之,得l2 Ak?1?=0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去,便可得

l1?l2???lk?0, 即证?,A?,?, Ak?1?(k>0)线性无关。

n?111.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量?使得A??0,求证A在某组下的矩阵

?0???10???。 是 ?1????0???10???证 由上题知, ?,A?,A?,?, A2n?12n?1?线性无关,故?,A?,A?,?, A?为线性空

间V的一组基。又因为A??0???1?A??0? A?+??0? A

2n?1?,

A(A?)=0??+0? A?+1? A2?+??0? An?1?,

……………………………

A(An?1?)=0??+0? A?+0? A 2?+??0? An?1? , 故A在这组基下的矩阵为

?0????10??。 ?1????0???10???12. 设V是数域P上的维线性空间,证明:与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数

乘变换。

证 因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。 13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:如果A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换。

证 设A在基?1,?2,?,?n下的矩阵为A=(aij),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵,且

(?1,?2,?n)=(?1,?2,?,?n)X,

则?1,?2,,?n也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是X?1AX,从而有AX=XA,这说

明A与一切非退化矩阵可交换。 若取

?1???2??X1??,

?????n???则由AX1=X1A知aij=0(i?j),即得

?a11??A=????再取

a22????, ??ann???010?0????001?0?X2=???????

???000?1??100?0???由AX2=X2A,可得 a11?a22???ann。

故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。

14.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为

0?1???12?12??2?2?1??13?,

55??1?2??21) 求A在基?1??1?22??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?4?2?4下 的矩阵; 2) 求A的核与值域;

3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;

4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知

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