??1 解:因为?E?A??4?2?4?(??1)(??5)(??5)，
00??3?4??3故A的特征值为?1?1,?2?5,?3??5，且A的属于特征值1的一个特征向量为X1?(1,0,0)，A的属于特征值5的一个特征向量为X2?(2,1,2)，A的属于特征值-5 的一个特征向量为X 3?(1,?2,1)。
'''?121??100??????1于是只要记T=(X1,X2,X3)??01?2?，则 TAT??050??B，
?021??00?5??????10?kk且 B??05?00?0??0?。 (?5)k???121??10?????01?2??05k?021??00?????0??10?10??0?5(?5)k?2??0??5????1?2? 5?1??5?于是A?TBTkk?1?12?5k?1?1?(?1)k?1?5k?1?1?4(?1)k =?0?02?5k?1?1?(?1)k?1???????5k?1?4?(?1)k?1??k?1k?12?5?1?(?1)? 。 5K?1?4?(?1)k????????23.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为
?2?43??5???1?32??3 A??195。
?3???222???10311?7???1) 求A的基?1??1?2?2??3??4，?2?2?1?3?2??3，?3??3，?4??4下的矩阵；
2) 求A的特征值与特征向量； 3) 求一可逆矩阵T,使T
?1AT成对角形。
?1??2解 1)由已知得(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?1??1?故求得A在基?1,?2,?3,?4下的矩阵为
200??300??(?1,?2,?3,?4)X， ?110?001???0??0?1B=XAX??0??0?2) A 的特征多项式为f(?)?06?5??0?54?73。 0??22?05?2???E?A??E?B??2(??)(??1)，
1,?4?1。 212 所以A的特征值为?1??2?0,?3? A的属于特征值??0的全部特征向量为k1?1?k2?2，其中k1,k2不全为零，且
?1?2?1?3?2??3, ?2???1??2??4。
A的属于特征值??1的全部特征向量为k3?3，其中 k3?0，且 2 ?3??4?1?2?2??3+6?4。
A的属于特征值??1的全部特征向量为k4?4,其中k4?0，且
?4?3?1??2??3?2?4。
3）因为
?2?1?43???3?1?21??（?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)?，
1011????016?2????0??2?1?43?????0???3?1?21??1 所求可逆阵为 T=?，且 TAT???为对角矩阵。 11011??????2?01??6?2??1????1,?2是分别属于?1,?2的特征向量，24.1)设?1,?2是线性变换A的两个不同特征值，证明：
?1??2不是A的特征向量；
2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。
证 1)由题设知A(?1)??1?1, A(?2)??2?2, 且?1??2，
若?1??2是A的特征向量，则存在??0使
A（?1??2）=?(?1??2)=??1???2， A（?1??2）=?1?1??2?2=??1???2，
即 (?1??)?1?(?2??)?2?0。
再由?1,?2的线性无关性，知?1????2???0，即?1????2，这是不可能的。 故?1??2不是A的特征向量。
2）设V的一组基为?1,?2,...,?n，则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值?1,?2,...,?n, 使
A(?i)??i?i (i?1,2,...,n)。 由1）即知?1??2?...??n?k。由已知，又有A(?)?k? (???V)，即证A是数乘变换。 25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA.，证明：
1) 如过?0是A的一个特征值，那么V?0是B的不变子空间； 2) A，B至少有一个公共的特征向量。
证 1)设??V?0，则A???0?，于是由题设知 A(B?)=B(A?)=B(?0?)??0(B?)， 故B??V?0，即证V?0是B的不变子空间。
3) 由1)知V?0是B的不变子空间，若记B|V?0=B0，则B0也是复数域上线性空间V?0的一个线性变换，它必有特征值?0,使B0B=?0B (B?V?0,且B?0)， 显然也有A(B)= ?0B，故B即为A与B的公共特征向量。
26. 设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基?1,?2,...,?n下的矩
阵是一若当块。证明：
1) V中包含?1的A-子空间只有V自身； 2) V中任一非零A-子空间都包含?n；
3) V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。
证 1)由题设,知
????1??.A(?1,?2,...,?n)=(?1,?2,...,?n)???????A?1???1??2?A??????223??即?.........................，
?A??????n?1n?n?1?a?n???n??.?????，
.??..?1???设W为A-子空间,且?1?W,则A?1?W， 进而有 ?2?A?1???1?W?A?2?W， ?3?A?2???2?W?A?3?W， …………………………………. ?n?A?n?1???n?1?W， 故W=L{?1,?2,...,?n}=V。
2)设W为任一非零的A-子空间,对任一非零向量??W,有 ???1?1???2?...??n?n 不妨设?1?0,则A???1A?1??2A?2?...??nA?n
=?1(??1??2)+?2(??2??3)+…+?n??n =????1?2??2?3?...??n?1?n?W 于是
?1?2??2?3?...??n?1?n?W
同理可得 ?1?3??2?4?...??n?2?n?W，…，?1?n?W
从而?n?W，即证V中任一非零的A-子空间W都包含?n。 3）设W1,W2是任意两个非平凡的A-子空间，则由2）知
?n?W1且?n?W2,
于是?n?W1?W2，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。 27．求下列矩阵的最小多项式：
?3?1?31????001???1?3???13 1)?010?, 2)?? 3?1?31?100???????131?3????001???2解 1)设A??010?，因为A2-E=0，所以??1是A的零化多项式，但
?100???A-E?0,A+E?0，故A的最小多项式为mA(?)??2?1。
2)因为f(?)??E?A??4，所以A的最小多项式为?,?2,?3,?4之一,代入计算可得
A的最小多项式为mA(?)??2。
二 补充题参考解答
1. 设A,B是线性变换, A= A, B=B证明:
1) 如果(A+B) =A+B那么AB=0; 2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)=A+B-AB. 证 1)因为A= A, B=B, (A+B) =A+B 由(A+B) =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ B, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0. 又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0. 2) 因为A= A, B=B, AB=BA 所以(A+B-AB)= (A+B-AB) (A+B-AB) 2222222222222222