工程技术学院本科课程论文
用费马原理导出光的反射定律和折射定律
(内江师范学院工程技术学院2012级1班 兰林 20120341045)
[摘 要]以费马原理为基础,用极值条件和方程有解条件导出光在两种均匀介质分界面处的反射定律,并证明了光在反射和折射过程中,其实际光程取的是极小值.
关键词:费马原理;反射定律;折射定律;光程;极小值
几何光学是以光的直线传播定律、反射定律和折射定律为基础建立起来的,引入光程概念后,上述三定律就可用费马原理来概括,并由它导出.光的直线传播定律、反射定律和折射定律、独立传播原理是几何光学的基本原理,能够很好地解释光在传播过程中发生的物理现象.费马原理与光的直线传播定律、反射定律和折射定律具有同等重要的意义,可以说后者是前者的必然结果,即由费马原理可推出光的直线传播定律、反射定律和折射定律.
反射定律: (1)反射光线位于入射光线和法线构成的平面内; (2)反射光线和入射光线分居发现两侧; (3)反射角等于入射角,即i??i
折射定律: (1)折射光线、入射光线和法线在同一平面内； (2)折射光线和入射光线分别位于法线的两侧； (3)光从光疏介质到光密介质时折射角小于入射角。
费马原理: 光在指定的两点间传播,实际光程是一个极值.光在均匀介质中的直线传播、在
两 种不同介质分界面处发生反射和折射,实际光程取极小值.即
?
BAnds?极值（极小值、极大值或恒定值） （1）
证明 如图1所示,设xoy平面是两均匀介质n1和n2的分界面,光线由介质1中指定的A点经界面反射后到达介质1中指定的B点.为确定实际光线的路径,过A、B两点作xoy
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平面垂直于界面,x轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点就可用费马原理来确定.
首先证明共面,即折射点在交线x上轴.设A、B、C三点的坐标分别为
A(x1,y1,0),B(x2,y2,0),C(x,0,z).
（2） l?nA、B间光程为 L?n112 l2
其中l1?y12??x?x1??z2,l2?y22??x2?x??z2,光程取极值,要求上式对x和z的一阶导数为零.于是得
只有当z?0时,?4?式才成立,所以C点应位于x轴上.即反射光线位于入射光线和法线构成的平面内.于是有其中:l1?y12??x?x1?,l2?y22??x2?x?
2222n1?x?x1?n??1x?xnl?nl???111?2?xl1l2?2?0 (3)
n1zn1z?nl?nl???0 (4) ?1112??zl1l2 2
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其次,证明异侧.由?3?式知,方程的解为 : x1?x?x2或x1?x?x2
若x1?x?x2,则A、B两点连线垂直与界面,入射光线、法线和反射光线三线合一;若x1?x?x2则入射光线和折射光线分别位于法线两侧.
最后,证明i??i,由图1易知:
代入?3?中,即得sini??sini，在反射角和入射角的定义范围内可得i??i,即反射角等于入射角.
到此我们证明了反射定律符合费马原理中的光程取极值,但未证明取极小值. 如图2所示,A、B为空间中指定的两点,CC?为入射面与分界面交线.A1、B1分别为A、B在交线上的垂足.为证明反射定律光程取极小值,我们假设在分界面上存在两个折射点C和CC?,前者遵循反射定律,后者不遵循反射定律;过CC?作入射光线AC的平行线DC?和反射光线C的垂线,同时分别过A和C分别作平行线DC?的垂线AE和CF.
?x?x1??sini,?x?x2??sini? (5)
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?和Rt 在RtGCCF?C中C,因为???CGC??F且CCCC?为公共边，所以有
FC??GC (6) 同时在RtGBC?、RtEAC?中，存在
BC??GB (7)
? (8) AC??EC设路径ABC的光程为LABC,对应地光沿此路径从A传播到B所用时间为t,与另一路径AC?B对应的相应物理量分别为LAC?B和t?.于是有
t??n1AC??n1C?B?1AC?1 (9)
?FC?n1?CGGB (10)
t?n1将(7)代入上式有 t?n1EC??1?n1?1??CBEC?n1?1?1EC??1?n1GB?1 (11)
BC?最终的t?n1
?1?n2GB?1?n1AC??1?n2?1 ?t? （12）
即t?t?.根据光程定义L?nl?ct,得LACB?LAC?B.至此,我们不但证明了反射定律符合
费马原理取极值的条件,而且证明了光程取的是极小值.
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对于折射如图1所示,设xoy平面是两均匀介质n1和n2的分界面,光线由介质1中指定的A点经界面折射到达介质2中指定的B点.为确定实际光线的路径,通过A、B两点作
xoy平面垂直于界面,x轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点C就可用费马原理来确定.
首先证明共面,即折射点在交线x轴上.设A、B、C三点的坐标分别为
A(x1,y1,0),B(x2,y2,0),C(x,0,z).
A、B间光程为 L?n （13） l?n112 l2
其中l1?y12??x?x1??z2,l2?y22??x2?x??z2,光程取极值,要求上式对x和z的一阶导数为零.于是得
nznz??n1l1?n1l2??1?1?0 (15) ?zl1l222n1?x?x1?n??1x?xnl?nl???111?2?xl1l2?2?0 (14)
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