高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
【考点自测】
x2y25
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭
ab2x2y2
圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( ) 123x2y2
A.－＝1 810x2y2
C.－＝1 54答案 B 解析 由y＝
5b5x，可得＝.① 2a2
x2y2
B.－＝1 45x2y2
D.－＝1 43
x2y2
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. x2y2
所以C的方程为－＝1.故选B.
45
x2y2
2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) A.
6321 B. C. D. 3333
答案 A
解析 由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝b1∴＝， a3a2－b2c∴e＝＝＝aa故选A.
3．(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A．16 B．14 C．12 D．10
2ab
＝a，解得a＝3b， a2＋b2b?21－??a?＝1－?
1?26＝. ?3?3
答案 A
解析 因为F为y2＝4x的焦点，
所以F(1,0)．
1
由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线k1
l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
k
?y＝k?x－1?，?由?2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ??y＝4x，
显然，该方程必有两个不等实根．
2k2＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，
k所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2| ＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2
4?1＋k?2k＋4
＝1＋k·?2?2－4＝.
k2?k?
222
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
4?1＋k2?
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2) 2k12?2＋1＋1＋k ＝4??k?
1
k2＋2?≥8＋4×2＝16， ＝8＋4?k??
1
当且仅当k2＝2，即k＝±1时，取得等号．
k故选A.
y2
4．(2017·北京)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________.
m
2
答案 2
解析 由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝1＋m， c
故双曲线的离心率e＝＝1＋m＝3，
a∴1＋m＝3，解得m＝2.
xy
5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F
ab的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 2
答案 y＝±x
2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
xy??a2－b2＝1，由?得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ??x2＝2py，
显然，方程必有两个不等实根． 2pb2
∴y1＋y2＝2.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
appp
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
2222pb2b21b2∴2＝p，即2＝，∴＝， aa2a22∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2
2
2
22
题型一 求圆锥曲线的标准方程
x2y2
例1 (2018·佛山模拟)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|
ab＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( ) x2y2
A.＋＝1 43x22
C.＋y＝1 2答案 A
解析 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
x2y2
∴a＝2，c＝1，∴b＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.
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思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
x2y2
跟踪训练1 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与
ab圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
x22
B.＋y＝1 3x22
D.＋y＝1 4