第3讲 导数的简单应用
年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 函数的奇偶性、导数的几何意义·T5 导数的几何意义·T13 导数的几何意义·T14 命题分析 1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题利用导数讨论函数的单调性、函数的的第一问． 零点·T21 利用导数求极值·T11 导数与函数图象·T7 2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选函数的奇偶性、导数的几何意义·T15 择、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题2016 的第一问． 卷Ⅲ 利用导数公式直接求导·T21(1) 3．近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略.
导数的运算及其几何意义(综合型)
导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
4个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x. (2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)． (4)(loga x)′＝
1
(a>0且a≠1)． xln a
[典型例题]
ππ
(1)若曲线f(x)＝xsin x＋1在点?，＋1?处的切线与直线ax－2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝( )
?22?A．－2 C．1
B．2 D．－1
1
(2)直线l与曲线y＝ex及y＝－x2都相切，则直线l的方程为________．
4【解析】 (1)因为f(x)＝xsin x＋1， 所以f′(x)＝sin x＋xcos x， ππππ
所以f′??＝sin ＋cos ＝1.
222?2?a
因为直线ax－2y＋1＝0的斜率为，
2πa
所以f′??×＝－1，
?2?2解得a＝－2，故选A.
x2121?(2)设直线l与曲线y＝e的切点为(x0，e)，直线l与曲线y＝－x的切点为?x1，－4??， 4
x
x0
x2x21??－x??因为y＝e在点(x0，e)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝e，y＝－在点?x1，－4?处的切线的斜率为y′|＝??2??4x＝x
x
x0
x0
1
x1＝－，
2x＝x
1
11则直线l的方程可表示为y＝ex－x0e＋e或y＝－x1x＋x2，所以
241
x0
x0
x0
?
??－xe
0
x1e x0＝－，
2
2x1 x0
＋e x0＝，4
所以ex0＝1－x0，解得x0＝0.所以直线l的方程为y＝x＋1. 【答案】 (1)A (2)y＝x＋1
(1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法 ①已知切点P(x0，y0)，求切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． ②已知切线的斜率k，求切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． ③已知切线上一点(非切点)，求切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
(2)两曲线f(x)，g(x)的公切线l的方程的求解关键
①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0))，(x1，g(x1))，并分别求出两曲线的切线方程． ②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值．
③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可．
[对点训练]
1．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x C．y＝2x
B．y＝－x D．y＝x
解析：选D.法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)·x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
2．(2018·合肥第一次质量检测)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( )
1A. 2C．2
B．1 D．e
解析：选B.由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1?a＝1.
利用导数研究函数的单调性(综合型)
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．
[典型例题]
命题角度一 求函数的单调区间或判断函数的单调性
ax2＋x
已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，且1 （x＋1）2x（x－2a＋3） 【解】 函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝，x>－1. （x＋1）33 ①当－1<2a－3<0，即1 2 当－1 3 ②当2a－3＝0，即a＝时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 2