勾股定理
本章总结提升
问题1 勾股定理
直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．
【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．
问题2 用拼图证明勾股定理
勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
① ②
图14－T－1
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将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a＋b＝c. 证明：连结DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.
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∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b＋ab，
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S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
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∴b＋ab＝c＋a(b－a)． 2222
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∴a＋b＝c.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.
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求证：a＋b＝c.
【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．
问题3 勾股定理的应用
勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？
例3 如图14－T－2所示，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？
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图14－T－2
问题4 勾股定理与方程思想的综合运用 已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？
例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？
图14－T－3
【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．
例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.
图14－T－4
【归纳总结】 将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的
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长度．
例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．
图14－T－5
【归纳总结】 确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．
例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．
图14－T－6
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