研究生课程考试命题专用纸
湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目： 数值分析 （A卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟
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注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、简答题(20分)
1、避免误差危害的主要原则有哪些？ 答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量
避免。（2分）
（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。（3分） （3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。（4分） （4）采用稳定的算法。（5分）
2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？ 答：（1） 若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。（3分） （2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。（4分）
（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。（5分）
3．求解非线性方程的Newton迭代法的收敛性如何？ 答：（1） Newton迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。（2分） （2）用Newton迭代法求方程f(x)?0的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性
收敛。（5分）
4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？ 答：（1）Newton-Cotes 积分公式当n?7时，Cotes系数都为小于1的正数，因此是稳定的。（3分） （2）当n?8时，出现了绝对值大于1的Cotes系数， 因此是不稳定。（5分）
二、(10分) 证明函数f(x)关于点x0,x1,...,xk的k阶差商f[x0,x1,...,xk]可以写成对应函数值
y0,y1,...,yk的线性组合，即
f[x0,x1,...,xk]??kyj
w'(x)j?0j 其中节点w(x)?(x?x0)(x?x1)...(x?xk)。
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证明：通过简单计算，可知
Newton插值多项式为
w'(xj)??(xj?xi) （2分）
。
i?0i?jnNn(x)?y0?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?.......?f[x0,x1,...,xn](x?x0)(x?x1).....(x?xn?1)Lagrange插值多项式为
，（5）
Ln(x)?l0(x)f(x0)?l1(x)f(x1)??ln(x)f(xn)
n
?li(x)yi i?0 其中，
(x?x0)(x?xi?1)(x?xi?1)(x?xn)li(x)?
(xi?x0)(xi?xi?1)(x?xi?1)(xi?xn) nx?xj ?,i?0,1,2,,nx?xjj?1i j?i （8分）
?? 由于插值多项式的唯一性，比较两个多项式x的系数，他们应该相等，从而
nf[x0,x1,...,xk]?? 本题也可以用数学归纳法证明。
kyj。 （10分）
w'(x)j?0j三、(10分). 求解非线性方程3x?sinx?1?0在区间[0,1]内的根，误差不超过0.001.（简单迭代法和
Newton迭代法中选一种方法。）
解： 因为f()f(1)?0，f'(x)?0,f\(x)?0在区间[1/3,1]恒成立，所以取初值x0?[1/3,1] 若f(x0)?0， （3分）
则Newton迭代
213xk?1f(xk)3x?sin(xk)?1 ?xk??xk?kf'(xk)6xk?cos(xk)2 收敛，取x0?0.8， 具体迭代过程如下： （7分） x=0.8;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x))
y =
0.75061432494672
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>> x=y;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)) y =
0.74844662434814
>> x=y;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)) y =
0.74844244703132 （10分） >>
注：若是采用简单迭代法：则计分如下：
写出迭代格式（3分），证明格式的收敛性（4分）， 计算过程（3分），共10分。 四、(10分)求函数f(x)?e在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 解：设一次最佳平方逼近多项式为y=a+bx, 正规方程组为：
x??1?1???21??a??e?1?2?????????? (7分) 1??b1?????3? 求解方程组，得到
a=0.87312731383618 （4e-10）
b=1.69030902924573 (18-6e)
（10分）
?3x1?2x2?3x3?5?五、(10分) 利用三角分解法求解线性方程组：?2x1?2x2?3。
?3x?12x?73?1 解： 系数矩阵的三角分解A=LU, 其中，
A =
3 2 3 2 2 0 3 0 12 L =
1 0 0 2/3 1 0 1 -3 1 U =
3 2 3 0 2/3 -2
0 0 3 （6分） 求解方程组Ly=b, 则
y’= [ 5 -1/3 1 ]; （8分） 求解方程组Ux=y, 则
x’=[1 1/2 1/3 ] （10分）
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