浙江省温州中学2017-2018学年奥赛数学总结评估试题

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2017-2018学年温州中学奥赛总结评估

{ M A T H E M A T I C S } (模拟)

(本卷满分:150 分 考试时间:120 分钟)

一、填空题(共10小题,每题7分,计70分).

?1?x?1,x????,2??1. 设函数f?x???1,则函数F?x??xf?x??1的零点个数

????f?x?2?,x??2,?2为 .

x2y22. 已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?,F1,F2分别为C的左右焦点.P为

ab?C右支上一点,且使?F1PF2=,又?F1PF2的面积为33a2.设A为C的左顶

3点,Q为第一象限内C上的任意一点,若存在常数????0?,使得

?QF2A=??QAF2恒成立,则?的值为 . 3. 某学生对一些对数进行运算,如下图表格所示: x 0.021 0.27 1.5 lgx2.8 2a?b?c?3⑴ 6a?3b?2⑵ 3a?b?c⑶ 1?2a?2b?c⑷ 3 2a?b⑸ 8 5 6 7 2(a?c)⑻ x lgxa?c⑹ 9 1?a?b?c⑺ 14 x lgx3?3a?3c⑼ 4a?2b⑽ 1?a?2b⑾ / 4. 5. 6. 7.

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错,则出错的数据是 . 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切,且它们的轴两两互相垂直,则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 .

已知三棱锥A?BCD,DA,DB,DC两两垂直,且 ?DAB??BAC??CAD ?90?,则二面角A?BC?D的余弦值的最大值为 .

设?为正实数,若存在实数a,b???a?b?2??,使得sin?a?sin?b?2,则?的取值范围为 .

正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O,任取它的两个不同的顶点Ai、Aj,

OAi?OAj?1的概率为 .

b?5c8a?2c3b?c??的最小值为 . a?b2b?3c2c?a8. 已知a?0,b?0,c?0,则

19. 已知z?r,r?1,则?z在复平面内的轨迹的焦距为 .

z10. 已知a,b,c????a?b?c?,且a,b,c构成以整数为公比的递i?N1?i?169增等比数列,则?a,b,c?的组数为 . 二、解答题(本大题分4小题,每题20分,计80分). 11. ⑴ 如图,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB?FD?5a,FE?6a.已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使

得FQ??FE,FR??FB,求当RD最短时,平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.

F第11题⑴ RQAEBCD⑵ 如图?ABC为正三角形,且BC?CD?2,CD?BC,将?ABC沿BC翻折.若点A的射影在?BCD内,且AB与面ACD所成的角的

222正弦值为,求

11第11题⑵ AD的长.

12. 设C1和C2是平面上两个不重合的固定圆,C是平面上的一个动圆.若C和C1,

C2都相切,则C的圆心轨迹是何种曲线?

13. ⑴ 已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0),当0?x?1时,f?(x)?1,试

求a的最大值.

⑵ 已知a?0,函数f(x)?lnx?a(x?1),g(x)?ex.

(Ⅰ) 经过原点分别作曲线y?f(x)和y?g(x)的切线l1和l2.已知两切线的斜

e?1e2?1?a?率互为倒数,求证:. ee(Ⅱ) 设h(x)?f(x?1)?g(x),当x?0时,h(x)?1恒成立,试求实数a的取

值范围.

14. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率.

(Ⅰ) 求p1,p2,p3,p4;

(Ⅱ) 探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明;

(Ⅲ) 讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.

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