第十五讲 驻波和多普勒效应
竞赛内容提要
1、驻波 频率相同，振幅相等，振动方向一致，传播方向相反的两列简谐波互相叠加，便形成了驻波。当波射到界面上反射时，入射波与反向传播的反射波叠加就会形成驻波。
驻波的特点是静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，与波形向前传播的行波不同。所以从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节和波腹分别是振动抵消和振动最强区域，它们的位置是不变的；若两列波形完全相同的反向传播的简谐波的周期T、频率f、波长λ、振幅A完全相同，某处一波波峰与另一波波谷相遇，该处质点振动总是被抵消而静止，该处为波节。与该处相距半波长处，必是该波波谷与另一波波峰相遇，此处也是波节，故相邻两波节之间的距离为λ/2，同理可知相邻两波腹之间的距离也是λ/2。
若某时刻两列波形恰反向叠加，则所有质点均处于平衡位置，此时刻驻波波形为一直线，经T/4，两波分别反向传播λ/4，则两波形恰重合，此时两波节之间各质点的位移均为两波位移相加，波腹处质点位移最大为2A，波节两侧质点位移方向相反，驻波波形为一振幅为2A、波长λ的正弦曲线；经T/2，驻波波形为一直线，经3T/4，驻波波形又是振幅为2A的正弦曲线，但与T/2时刻波形相反；经T，驻波波形完成一次周期性变化，除波节外的各质点同时完成一次周期性振动，各质点振动的周期、频率相同，振幅在零到2A之间不等，同一波节两侧质点振动方向总是相反。如图所示为驻波波形在一个周期的变化情况。
7 8 b 9 3 4 6 2 5 1 a t=0
位移为0
此时，各质点t=T/2 合位移为0
上述图中，质点2、4、6、8的位移始终为0， 叫做波节；质点1、3、5、7、9的振幅最大， 称为波幅。合成波既不向左传播，也不向右传 播，故称为驻波。
此时，各质点合
此时，质点1、t=T/4 3、5、7位移最
大
t=3T/4
此时，波幅最大
t=T
回复至t=0时的状态
2、多普勒效应
当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到的笛声频率变低。波源与观察者之间有相对运动时，观察者接收到的波的频率fR与波源的振动频率fS不同，这种现象称为多普勒效应。多普勒效应有以下三种情况：
（1）相对于介质，波源不动，观察者以速度vR向着或远离波源运动，设波速为u，则有： fR=
（u+vR）/λ=（u+vR）/（u/f）=（u+vR）f/u，因为此时波的频率就是波源的频率，所以，fR=（u+vR）fS/u。 因此观察者向着波源运动时，接收到的频率大于波源的频率，当观察者远离静止波源运动时，接收到的频率小于波源的频率。
（2）相对于介质，观察者不动，波源以速度vS向着观察者运动。波源运动时，波的频率不再等于波源的频率。这是由于当波源运动时，它所发出的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的，这两个地点相隔的距离为vSTS，TS为波源的周期。如果波源是向着观察者运动的，这后一地点到前方的最近的同相点之间的距离是现在介质中的波长。 若波源静止时，介质中的波长为λ0（λ0=uTS），则现在介质中的波长为λ=λ0－vSTS=（u－vS）TS=（u－vS）/fS ，现在波的频率（即观察者接收的频率）为 fR=u/λ=ufS/（u－vS）。 因此，波源向着观察者运动时，观察者接收到的频率大于波源的频率；当波源远离观察者运动时，观察者接收到的频率小于波源的频率。
（3）相对于介质，观察者和波源同时运动。综合上述两种情况，可得当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的频率为：fR=（u+vS）fS/（u－vS） 当波源和观察者彼此离开时，观察者接收到的频率为 fR=（u－vS）fS/（u+vS）。 例1 车上的乘客随列车甲以80km/h速度行驶，从乘客对面开来的另一列超高速列车向乘客背后
奔驰而去，此间超高速列车所发出的汽笛声开始若取“哆”音，后来听到的则是降低的“咪”音，假定“哆”音与“咪”音的频率比为8/5，设声速为1200km/h，则超高速列车的时速是多少？这时，对站在路旁的人而言，超高速列车通过他前后时声音的频率之比是多少？而对与超高速列车同向行驶、车速为80km/h的车上乘客而言，他被超高速列车追过前后所闻汽笛声音的频率之比又是多少？ 例2 飞机在上空以速度v=200m/s做水平飞行，发出频率为f0=200HZ的声波，静止在地面上的观
察者测定，当飞机越过观察者上空时，观察者4s内测出的频率从f1=2400HZ降为f2=1600HZ，已知声波在空气中的速度为v=330m/s，试求飞机的飞行高度。
例3、站在地面上的观察者发现一架飞机向他飞来，但听不到声音，一直到看见飞机的方向和水平成37°角时，才听到飞机的轰鸣声。若飞机沿水平直线飞行，当时声速为336m/s，飞机的速度是多少？
例4、有A、B两个星球，B星以A星为中心做匀速圆周运动，如图所示，由于星球离地球非常远，而且地球位于B星的轨道平面上，所以从地球上看过去，B星好象在一条直线上运动。测得B星从P点移动到Q点所经历的时间为6.28×107s。由于多普勒效应，在测
A －
Q P 定B星发出的波长时发现，当B星位于P点时比位于A点时波长短0.68×10
10B m，位于Q点时波长则比A点长同样的值。若位于A点时的波长测量值为
B A －
P Q 4861.33×1010m，光速c=3.0×108m/s，求：
（1）B星公转的方向； （2）B星的公转速度； （3）圆周轨道的半径。
例5、某人造地球卫星发出频率为108HZ的无线电信号，地面接收站接收到的信号频率增大了2400HZ，已知无线电信号在真空中的传播速率为3.0×108m/s，试估算人造卫星朝地面接收站方向的运动速度。
3、拍
两个同方向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，产生的合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫做拍。在单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫拍频。
设两个波源振动的频率分别为f1、f2，某时刻某质点参与的两振动恰同相，两振动相互加强，振幅最大。此后两振动的位相逐渐拉开差距，设经时间T相位差为2π，此时第二次合振动振幅达最大，以后每隔T出现合振动的极大值，则有：︱2πf1－2πf2︱·T=2π，即1/T=︱f1－f2︱。可见，拍频f=︱f1－f2︱，即等于两个分振动的频率之差。
例6、如图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其R点和S点，另一端通过定滑轮吊着一个1.6kg的重物，弹拨弦的RS部分，使其振动，则R、S