兴义市天赋中学数学第三册(选修Ⅱ)教案：
第2章极限小结与复习(2)
教学目的：
1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法. 2.利用函数极限存在，解题.
3.利用函数的连续性，解一些题目 教学重点：求解数列或函数的极限.
教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的主要内容，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与n有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法. 教学过程：
一、讲解范例：
例1 已知数列
1111,,,?,,… 1?44?77?10(3n?2)(3n?1)(1)计算S1，S2，S3，S4.
(2)猜想Sn的表达式，并证明. (3)limSn.
n??解：(1)S1=
11?. 1?44S2=
117?12??? 1?44?72872120?13??? 77?1070103139?14???. 1010?1313013S3=
S4=
(2 )解：通项是以3n－2，3n+1两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数n表示，分母可用3n+1表示，于是可猜想.
Sn=
1111n ??????1?44?77?10(3n?2)(3n?1)3n?1111??等式成立. 1?443?1?1k. 3k?1证明方法一:用数学归纳法证明如下：
1° 当n=1时，S1=
2° 假设当n=k时等式成立.即 Sk=当n=k+1时.
111????1?4(3k?2)(3k?1)(3k?1)(3k?4)1k1 ?Sk???(3k?1)(3k?4)3k?1(3k?1)(3k?4)Sk?1?k(3k?4)?13k2?4k?1??(3k?1)(3k?4)(3k?1)(3k?4)(3k?1)(k?1)k?1?(3k?1)(3k?4)3k?4
k?1?3(k?1)?1?∴当n=k+1时，等式也成立. ∴Sn=
n (n∈N*) 3n?1证明方法二：
1111?(?)
(3n?2)(3n?1)33n?23n?1∴Sn?1111 ?????1?44?77?10(3n?2)(3n?1)11111111111?(1?)?(?)?(?)???(?)34347371033n?23n?111111111?(1?????????)34477103n?23n?1
1113n?(1?)??33n?133n?1n?3n?1
∴Sn=
n 3n?1limSn?limn??(3)解:
n11?lim?
n??3n?1n??133?n例2 已知下列极限，求a与b.
x2?1(1)lim(?ax?b)?0 x??x?1(2)lim(x??x2?x?1?ax?b)?0
(3)limx??x?a?b?1 2x?1分析：此题属于已知x趋向于x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x=x0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a，b的值.
x2?1(1?a)x2?(a?b)x?(1?b)解：(1)lim( ?ax?b)?limx??x?1x??x?1(1?a)x?(a?b)??limx??1?1x1?bx
1° 如果1－a≠0， ∵lim11?b?0,lim?0 x??xx??x(1?a)x?(a?b)?1?bx不存在.
∴limx??1?1x2° 如果 1－a=0，
(1?a)x?(a?b)?∵limx??1?1x1?bx??(a?b)?0
1?0=－(a+b)=0 即a+b=0