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第16关
一、填空题：
1．在无穷等比数列{an}中，若lim(a1?a2?????an)?n??1，则a1的取值范围是________． 3【答案】(0,)U(,)
131233?a1(1?qn),q?1?q【解析】设等比数列{an}的公比为，则其前n项和为：Sn??1?q，
?na,q?1?1若q?1时，lim(a1?a2?????an)?limna1?n??n??1， 3a1(1?qn)1?， 若q?1时，lim(a1?a2?????an)?limn??n??1?q3因此q?1且q?0，
a111?，即a1??1?q?， 1?q33112??1?q????,?； 3?33?所以当?1?q?0时，a1?当0?q?1时，a1?11?0,?1?q?????．
33??因此，a1的取值范围是(0,)U(,)． 故答案为：(0,)U(,)
2．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合
131233131233vuvvuvvvvuuuuM?{a|a?AiAj(i,j?1,2,3,4,5,6,i?j)}，在M中任取两个元素m、n，则m?n?0的概率为________
【答案】
8 51【解析】以A1A4的中点为坐标原点O，以A1A4所在直线为x轴，以A1A4的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正六边形的边长为1，
?13??1?1?13?3?3?A?,,,??,?,0?、2?所以易得：A、A4?1,0?、A5?、A6?， ???1??1?22??、A3???????222222????????uuuuruuuur?13?uuuuruuuur?33?uuuuruuuur因此A1A2?A5A4???2,2??，A1A3?A6A4???2,2??，A1A4??2,0?，A4A1???2,0?，
????uuuuruuuur?3ruuuur?1ruuuur?1ruuuur3?uuuu3?uuuu3?uuuuA1A5?A2A4??,?AA?AA?,?AA?AA??,??????3445?2?，16?2?，21?2?，A2A3?A6A5??1,0?，222??????uuuuruuuur?3uuuuruuuuruuuuruuuur3?A2A5?1,?3，A5A2??1,3，A2A6?A3A5?0,?3，A3A1?A4A6???,???2?，2????????uuuuruuuur?33?uuuuruuuuruuuuruuuurA3A2?A5A6???1,0?，A3A6??1,?3，A6A3?1,3，A4A2?A5A1????2,2??，
??????uuuuruuuur?13?uuuuruuuurA4A3?A6A1????2,2??，A5A3?A6A2?0,3；
????共18个向量．
rruuuur因此M?{a|a?AiAj(i,j?1,2,3,4,5,6,i?j)}中含有18个不同的元素．
?13??3urrurr3??33??13?又在M中任取两个元素m、n，满足m?n?0的有：??2,2??与???2,?2????2,2??；??2,?2??或??????????33??33?与???2,2??； ?2,?2??或??????13??33??33??13??33???2,?2??与???2,?2??；???2,2??与??2,2??或??2,2??或???????????33? ?1,0?与0,?3或0,3；?2,0?与0,?3或0,3；??2,0?与0,?3或0,3；???2,?2??；
???????????????3?33??33?3??33?,?,?0,?30,31,3?1,?3?,?,?1,0与或；与或；与或?；??????????????2???2??22?2??22???2?????????33??3?33??3urr3?3??,??,?,,1,?3与??1,3或；与或；共种选法，又由??24?m、n的?2??2??22????22???22????????urr2?48种； 任意性，因此满足m?n?0的情况共有：24A2????又在M中任取两个元素m、n，共有C18A2种情况； 因此，满足m?n?0的概率为：P?urr22urr488?． 22C18A251故答案为：
8． 51uuuruuruuuruuruuurx2y23．已知点P在双曲线，且OA?OP?60，OB?(0,1)，??1上，点A满足PA?(t?1)OP（t?R）
916uuuruur则|OB?OA|的最大值为________
【答案】8
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQ?? 【解析】PA?(t?1)OP?tOP?OP，OA?OP?tOP?OP，则OA?tOP，|OA|?|t|g|OP|，
设A(xA,yA)，P(xP,yP)，?(xA,yA)?t(xP,yP)，
?x???xA?txP?P则?，即??yA?tyP?y?P??xA2xAyAtxA2yA29y2A，将点(,)代入双曲线中得：2??1，?xA??9t2?①， 2yAtt9t16t16t22uuuruuuruuur2uuuruuurxy22AAQOAgOP?60，?|OA|g|OP|?|t|g|OP|?|t|g(xP?yP)?|t|g(2?2)?60?②， tt9yA2yA225yA225yA215??9)?|t|g(?9)??9|t|…|yA|， 由①②得60?|t|g(22216tt16t16|t|2uuuruuuruuuruuur?|yA|?8，?|OBgOA|?|yA|?8，则|OBgOA|的最大值为8，故答案为：8．
4．设函数f?x??Asin??x?则下述结论中：
????????0,A?0?,x??0,2??，若f?x?恰有4个零点， 6?