浅谈中学数学教学中发散思维的培养
数学教学中注重对学生发散性思维能力的培养训练，能有效地突破思维定势的局限性，思维重现了以往记忆和储存的信息。本文从数学发散思维的存在性以及认识性入手，说明发散思维对学生学习数学的重要作用，并重点结合教学实际就如何在中学数学教学中培养和提高学生的数学发散思维能力进行了一些阐述。
二十一世纪是全新的世纪，科技竞争日趋激烈，知识经济初见端倪。全新的世纪，呼唤全新 的教育。数学教育作为学校基础教育的一部分，其教育意义不仅仅是让学生掌握数学基本知 识，更重要的是培养发展学生的思维能力和创新能力。美国心理学家吉尔福特说：“人的创造力主要依靠发散思维，它是创造思维的主要成份”。当今，培养学生的创造精神和创造能力是中学教学内容改革的重要趋势之一，是新时期现代化建设的需要。因此，在数学教学中培养和拓展学生的发散思维能力，培养出新时期需要的开创性人才是至关重要的.
—、发散思维在数学教学中重要性和必要性
许多发明创造者都是借助于发散思维获得成功的。一些伟大的科学家、思想家和艺术家一生都十分注意运用发散思维进行思考。正因为这样，他们为人类所提供的创造成果常常改变了历史的进程，对后世产生了不可估量的影响。可以说，发散思维是创造的发源地。发散思维应用于学习，有利于深刻理解知识点（即概念、理、定律等）的内在要素，有助于全面把握相关知识点的相互系，形成网络，实现知识的高层次理解和有效存贮。发散思维应用于解题，有助于充分发现条件（显现的和隐含的），迅速理清“已知”和“未知”的内在关系，找到解题的不同方法和途径，获得最佳思路。发散思维应用于培养能力，有助于克服思维定势，避免思维僵化和单一，从而有助于认识全面深刻，方法灵活多样，在求知中产生创新和突破。教师可以运用发散思维方法和模型 ，从同一发散点（知识点、考点）出发，通过多角度、多形式、多层次的命题变换，构造点、线、面、体的立体思维网络，最大限度地激发学生的潜能，培养能力，提高素质。
二、发散思维的特性
发散思维亦称扩散思维、辐射思维，是指在创造和解决问题的思考过程中，从已有的信息出发，尽可能向各个方向扩展，不受已知的或现存的方式、方法、规则和范畴的约束，并且从这种扩散、辐射和求异式的思考中，求得多种不同的解决办法，衍生出各种不同的结果。这种思路好比自行车车轮一样，许多辐条以车轴为中心沿径向向外辐射。发散思维是多向的、立体的和开放型的思维。 发散思维具有下列特征：
（一）流畅性
流畅性是指思维灵活快捷、畅通无阻，能够在短时间内提出更多的设想。它是发散思维的量的指标——在短时间内思维发散的数量。流畅性是较低层次的发散特征。流畅性好的发散思维能在短时间内提出很多设想，但只是数量多而类别单一。例如: 配方法是一种重要的数学方法,有着广泛的应用:用于解方程, 用于因式分解,用于证明不等式, 用于求函数的极值, 等等.
（二）变通性
变通性是指思维不受定势的束缚，不受类别的限制，能够触类旁通、随机应变、从而能够产生超乎寻常的构想，提出不同凡响的观念--思维在发散方向上所表现出的变化与灵活。例如: 如果实数x,y满足方程(x-2)2+y2=2，求y的最大值。
x 1
解：不妨设点A(x,y)在圆(x-2)2+y2=2上，圆心为 C(2,0),半径等于2（如图1）则y是点A与原点连线的斜率。当OA与⊙C相切，且切点A落在第一象限时，KOA
x有最大值，即y有最大值。
x因为CA=2，OC=2，所以OA=22?2=1， 所以(y)max=tan∠AOC=2。
x2这是一道数量关系,我们通过图行性质解决数量关系, 这就是发散思维变通性。
（三）独创性
独创性是指从前所未有的新观念、新角度来反映事物，提出对事物超乎寻常的见解。因此，它更多地代表发散思维的本质——思维发散的新颖性及独特的角度。
1例如：已知方程x2+x+m=0的两个实根都在-1和1之间，求m
2的取值范围。
分析：学生根据习惯性思维求出两个根，列出如下不等式组：
1?4m???1?2?1??1??1?1?4m?2?1???1初中学生直接解题肯定会有很大困难。
图 (1)
但教师只要引导学生把方程的“根”与抛物线与x轴“交点”
图 (2)
联系起来，由方程问题转化为二次函数问题来解决。构造
1y=x2+x+m=0的二次函数，画出草图（如图（2）），结合图像分析可得出结论，当
2?(?1)2?11)?m?02?(??21?1?0?2?m???1?4m?011??m?4?216x=-1时，y>0和当x=1时，y>0，得下列不等式组解得。
通过运用非常规方法解题的教学，学生的思维得到了独特的发散，学会了用前所未有的新角度、新观点去解决数学问题.
三 、发散思维能力的培养
（一）培养发散思维要加强基础
首先，要加强基础知识的教学和基本技能的训练。学生掌握的每一项知识、技能不仅必须准确无误和具有良好的巩固程度，而且要理解知识间的纵横联系，把握形式与实际的关系如果在基础上有这样那样缺陷，当思维向各方发散时便会时时受阻，处处遇卡。其次，要帮助学生掌握一些解决问题的思想方法和数学方法，如对应、还原、假设、转化、等量代换、列举、化归等，这增，他们遇到具体问题才能作出多种途径的探索。
(二) 发散思维能力的训练 1、一题多解──解法发散。
首先发散性思维是变通的，因此，在教学过程中，对一些有代表性问题的解决，
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教师要充分利用学生学过的基础知识和基本技能，调动一切做题手段，从各个侧面论证同一命题的真实性。通过分析比较，让学生知道哪种方法灵活巧妙，具有思维的敏捷、灵活性和流畅性；哪种方法呆板沉繁，具有思维的局限性。教师要通过一题多解的分析训练，让学生在普遍性中寻求规律性，融数形结合等数学思想于一体，优化解题方法、拓宽解题思路的广度和深度。
例如：已知△ABC，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG是AC边上的高，求证：DE+DF=BG（如图（3））
分析提问：
①这是属于哪一类题型的几何证明题？（线段和差问题） ②常用证明方法是什么？（截长补短法） ③可采用怎样的方法来证？（添加辅助线） ④怎样添加辅助线？（过D点画DH⊥BG）
图 (3)
⑤需要运用哪些性质来证明？（全等三角形性质和矩形性质）这样从学生实际出发，由易到难循序渐进地教给学生分析问题、解决问题的基本思维方法。
⑥还有别的添线方法吗？（引导学生思维简单发散求异，分析出过B点作FD的垂线交FD延长线于K。
在学生掌握了分析问题的基本方法后，教师应引导学生从不同角度、不同方向探索思路，抓住各部分知识点的联系及方法间的联系，一题多解、发散求异。⑴DE、DF、BG分别是△ABD、△ACD和△ABC中的什么线段？（高）三角形的高与什么有关？（面积）那么你能用面积法证明吗？⑵△BDE、△CDF、△BCG又是什么三角形？（直角三角形），∠B与∠C有怎样数量关系？（相等）直角三角形的边与角有怎样的关系？（三角函数关系）那么你是否能运用三角函数性质证明结论？
这样发散性分析、引导，融几何知识、面积公式、三角函数等数学知识于一体，既培养了学生发散性思维的变通性、灵活性，又对培养学生分析问题思维创新、解决问题方法创新有良好的效果。再如：一项工程，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成，现在两人同时合做，甲因中途有事开会，所以这项工程经过15天完成，问甲开了几天会？
解法一 设甲开了x天会，列方程得：
111（＋）×15－×x＝1，解得：x＝5 202030解法二 设甲开了x天会，甲实际做了（15－x）天，列方程得：
11×15＋（15－x）＝1，解得：x＝5
2030解法三 设甲实际做了x天，列方程得：
11×x＋×15＝1，解得：x＝10，所以15－10＝5 2030采用“一题多解”时要引导学生从不同角度来观察和思考，以寻求不同的解题途径，同时引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，并注意条件与原因，挖掘其内在规律。
2 、一题多变──变化发散
①图⑵发散性思维又是流畅的。在数学教学过程中，一些表面看来一般但内涵却十分丰富的问题，是一个可以发展和发掘的问题。教师要通过精心策划、设计、组织学生主动地参与到“知识生产”的过程中去。教师要尽力施
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