三角函数与平面向量
一、基础知识回顾
1. 以下说法错误的是 ③ ①零向量与任一非零向量平行 ②零向量与单位向量的模不相等 ③平行向量的方向相同或相反 ④平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为AD的是 ③
① ③MB＋AD（AB＋CD）＋BC ②－BM ④OC－OA＋CD （AD＋MB）＋（BC＋CM）rrrrrr13. 设a与b是两个不共线向量，且向量a??b与?b?2a共线，则?=?
214. D是△ABC的边AB上的中点，则用BC、BA表示向量CD?BA?BC
2??5. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为 -20 17?6. 与向量a=?,?,b???,?的夹角相等，且模为1的向量是(?22??71??22?2222,)或(?,?) 222227. 已知向量a?(m,n)，b?(cos?,sin?)，其中m,n,??R.若|a|?4|b|，则当a?b??恒成立时实数?的取值范围是???,?2???2,???
8. 已知向量OP?(2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），则XA?XB的最小值是_-8__ 二、例题精讲
例1. 向量a?(1,2),b?(x,1), （1）当a?2b与2a?b平行时，求x；（2）当a?2b与2a?b垂直时，求x.
解：(1)x?
127(2)x?或x??2
2例2. 已知｜｜a?4,|b|?3,(2a－3b)?(2a?b)?61,
｜a?b｜(1)求a?b的值； （2）求a与b的夹角?； （3）求的值
解：(1)a?b??6 (2)??
例3. 设a、b是两个不共线的非零向量（t?R）
2? (3｜)a?b｜?13 31(a?b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ 3（2）若|a|?|b|?1且a与b夹角为120?，那么实数x为何值时|a?xb|的值最小？
11解：(1)t?(2)x??
22（1）记OA?a,OB?tb,OC?
例4. 已知向量a?(1?1,)，b?(2,cos2x). sinxsinx3（1）若x?(0,?]，试判断a与b能否平行？（2）若x?(0,?]，求函数f(x)?a?b的最小值.
2解：(1)不平行(2)最小值为22
例5.已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cos?，sin?）.
22sin??sin2?的值． 若AC?BC，求角?的值；（2）若AC?BC??1, 求
1?tan?22sin??sin2?=?5 解：(1)??k??,k?Z （2）
1?tan?49uuuruuruuuruur?三、巩固练习
1．设四边形ABCD中，有DC=
1AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是 等腰梯形 263 652．已知a=（3，4），b=（5，12），a与b 则夹角的余弦为
3．|a|=3,|b|=4,向量a+
33b与a－b的位置关系为 垂直 44?125??125?,?或?,? ?1313??1313?4．与向量a=（12，5）平行的单位向量为?5．已知OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?m,?3?m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是m?1 26．设平面向量a=(－2，1)，b=(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是???1且??2 27. 已知向量a?(cos?,sin?),向量b?(3,?1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是 4，0
8. 以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使?A?90，则AB的坐标为 (-2,5)或（-5，2） 9.在?ABC中,已知AB??2,3?,AC??1,k?,且?ABC的一个内角为直角,求实数k的值 解：k???2113?13或或 332210. 已知向量a?(mx,?1),b?(求实数x的取值范围.
1，且a,b不共线，若向量a,b的夹角为锐角，,x)（m为常数）
mx?111；m?0时，?x?0 mm解：m?0时,x?0；m?0时,x?0或x?11. 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=3|a－kb|，其中k>0， （1）用k表示a·b; （2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小
111(k?) (2). a·b的最小值为，此时a·b的夹角的为60? 4k2rr25rr12. 已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，a?b?．
5??5（Ⅰ）求cos(???)的值；（Ⅱ）若0???，????0，且sin???，求sin?的值
2213333解：（1）cos(???)= （2）sin?=sin(?????)?
565??????33?????????备用题：已知向量a??cos?,sin??,b??cos,?sin?,且???0,?, f????a?b?2ma?b的最小
22?22????2?3值是?,求实数m的值.
2????12解：f????a?b?2ma?b?2cos??4mcos??1 m?
2解:(1). a·b=