三角恒等变换
【考情分析】
三角函数是历年高考重点考察内容之一,三角恒等变换的考查,经常以选择与填空题的形式出现,还常在解答题中与其它知识结合起来考查,其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点.在考查三角知识的同时,又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。
【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β, cos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β,
tan α±tan β
tan(α±β)=.
1?tan αtan β
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α,
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
2tan α
tan 2α=. 1-tan2α
3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan_αtan_β);
1+cos 2α1-cos 2α
(2)cos2α=,sin2α=;
22
π
α±?. (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin??4?4.辅助角公式
ba
asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ),其中sin φ=2,cos φ=.
a+b2a2+b2sx(??)?b周期 5.ω>0时y?Asin(?x??)?b周期 y?Aco?y?tan(?x)周期 【考题体验】
α3
1.(2013·江西高考)若sin=,则cos α=( )
23
2112A.- B.- C. D.
3333
α3α13
解析:选C 因为sin=,所以cos α=1-2sin2 =1-2×??2=.
232?3?3
[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源学&科&网Z&X&X&K]
2.(2014·高考课标卷)已知sin2??2?2,则cos(??)?( ) 341112A. B. C. D. 6323解析:选A
π3π2
α-?=,tan?+β?=,则tan(α+β)的值为( ) 3.已知tan??6?7?6?5
2911
A. B. C. D.1 412941
32?α-π?+tan?π+β?+tan75?6??6?π??π????解析:选D tan(α+β)=tan??α-6?+?6+β??===1.
π?π?32??1-tan?α-6?·tan?6+β?1-7×5
π?
4.(2013·四川高考)设sin 2α=-sin α,α∈??2,π?,则tan 2α的值是________.
π?13
,π,∴sin α=,tan α=-3,∴tan 解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-,又α∈??2?22
1
-232tan α
2α==3. 2=1-tanα1-?-3?2
5.tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=________.
tan 20°+tan 40°
解析:∵tan (20°+40°)=,∴3-3tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,
1-tan 20°tan 40°
即tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=3.
.Com]【典型例题】
考向一:求角问题
例1:已知?,??(0,?)且tan(???)?
变式1: 已知0???11,tan???,求2???的值. 27?2????,tan?12=,cos(?-?)=,求? 的值. 2210
考向二:三角函数的化简求值
例2、 (2013·重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( )
2+3
A.2 ; B. ; C.3 ; D.22-1
2
sin 40°-sin 40°2sin 80°-sin 40°sin 40°4cos 40°
[解] 4cos 50°-tan 40°=4sin 40°-==
cos 40°cos 40°cos 40°
2sin?120°-40°?-sin 40°3cos 40°+sin 40°-sin 40°3cos 40°====3.
cos 40°cos 40°cos 40°
【方法规律】
1.三角函数式化简的原则
三角函数式的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二看名,三看式子结构与特征. 即用转化与化归思想“去异求同”的过程,具体分析如下:
(1)首先观察角与角之间的关系,用已知角表示未知角,角的变换是三角恒等变换的核心; (2)其次是看三角函数名称之间的关系,通常是常值代换或者切化弦; (3)再就是观察代数式的结构特点,合理的选择三角函数公式,化繁为简. 2.解决给角求值问题的基本思路
对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值;
(2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.
2cos 10°-sin 20°
变式2:(2014·嘉兴模拟)的值是( )
sin 70°
13
A. B. C.3 D.2 22
2cos?30°-20°?-sin 20°
解析:选C 原式= sin 70°
2?cos 30°·cos 20°+sin 30°·sin 20°?-sin 20°3cos 20°===3.
sin 70°cos 20°
[来源学科网]考点三: 三角函数的条件求值
[来源:Z&xx&k.Com][例3] (1)(2013·浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=4334A. B. C.- D.- 3443
2
10,则tan 2α=( ) 2
π
x-?,x∈R. (2)(2013·广东高考)已知函数f(x)=2cos??12?
π3ππ3
-?的值;②若cos θ=,θ∈?,2π?,求f?2θ+?. ①求f?3??6??2??5
[解] (1)法一:(直接法)两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-12tan α3,代入tan 2α=2,得tan 2α=-. 341-tanα
3110法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sin α=,cos α=,这时sin α+2cos α=21010
符合要求,此时tan α=3,代入二倍角公式得到答案C.
πππππ-?=2cos?--?=2cos?-?=2cos =1. (2)①f??6??612??4?4ππππ
2θ+?=2 cos?2θ+-?=2cos?2θ+?=cos 2θ-sin 2θ. ②f?3?312?4????
3π34,2π?,所以sin θ=-. 因为cos θ=,θ∈??2?55
247
所以sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-.
2525
π24177
2θ+?=cos 2θ-sin 2θ=--?-?=. 所以f?3??25?25?25
π
θ-?的值. 【互动探究】保持本例(2)②条件不变,求f??6?3π3?3?2=-4. ,2π?,cos θ=,所以sin θ=-1-cos2θ=- 解:因为θ∈?1-?2??5?55ππππ22
θ-?=2cos?θ--?=2cos?θ-?=2×?cos θ+sin θ? 所以f??6??612??4?2?2?
341
=cos θ+sin θ=-=-.
555
【方法规律】三角函数求值的两种类型
(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;
②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
π1
θ+?=,则sin θ+cos θ=________. 变式3:1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan??4?2
π1?θ+π?=-5,?θ+π?=-10. θ+?=,解法一由θ在第二象限,且tan?故sin故sin θ+cos θ=2 sin?4?2?4??4?55
π1tan θ+111θ+?=利用两角和的正切公式展开,则法二:如果将tan?=,求得tan θ=-.又因为θ在?4?231-tan θ213210
第二象限,则sin θ=,cos θ=-,从而sin θ+cos θ=-=-. 5101010βαπ12
α-?=-,sin?-β?=,求cos(α+β)的值. 2.已知0<β<<α<π,且cos??2??2?329
ππαππβ
解:∵0<β<<α<π,∴-<-β<,<α-<π,
242242
α?ββ4552?α2?-β= -β?=,sin?α-?= α-?=∴cos?1-sin1-cos?2??2?3?2??2?9, α+β?α-β?-?α-β??=cos?α-β?cos?α-β?+sin?α-β?sin?α-β? ∴cos=cos???2??2???2??2??2??2?21545275-?×+=?×=, ?9?39327
α+β49×5239
∴cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.
2729729
考点四: 三角变换的综合应用
1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他知识相结合命题,题目难度适中,为中档题.
[来源学+科+网] 3