《概率论与数理统计》课程考试试卷 (闭卷)
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 请勿发群里。做完尽快交 对的有奖励。完成后可答疑。
得 分 评卷人 一、填空题（每小题3分，共21分）
1. 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3， P(A?B) = 0.6，则P(AB) = 。
12???2022. 设随机变量X的概率分布列是??，则P(X?1)= 。
?0.30.10.20.4?3. 设(X,Y)服从区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}上的均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度fX(x)? 。
4. 设随机变量X ~ N(?, ? 2)，且关于y的一元二次方程y2?2y?X?0无实根的概率为1/2，则?? 。
5. 设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)??,D(Xi)??2， i =1, 2, …，n，则当n充分大时P(?Xi?x)? 。
i?1n1n6. 设总体X服从指数分布E(?)，X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，X??Xi，
ni?1则E(X)? 。 7. 设X1,X2,,Xn为来自总体N(?,?2)的样本，??和? 2为未知参数，X,S2分别为
nn2样本均值和样本方差，[X?St?(k),X?St?(k)]为??的置信度为(1??)的置信区间，则
22k= 。
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得 分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，共18分） （将正确选项前的字母填入题后的括号内）
1.有N名学生参加某公司的招聘面试，其中女生占1/3，面试官每次随机点一名学生进行面试，则女生全部面试完且有k名男生待面试的概率是（ ）。
N/3?1?1?(A)CN?k?1???3?N/3?2????3?2N/3?k2N/3?kC2k3 (B) (C)NN/? (D) kNC3N12. 设随机变量X ~ N(??, ??2)，Y ~ N(??, ??2)，且P(X??1?1)?P(Y??2?1)，则 必有（ ）。
(A) ???? (C) ???? 3. 设X,Y独立同分布,且P(Y?1)?1/3,P(Y?2)?2/3，则P(X?Y)?（ ）。 (A) 2/3 (B) 1 (C) 1/2 (D) 5/9 4. 设X ~ N( ?, ??)，Y ~ E( ????)，则下列结论中错误的是（ ）。
(A) E?X?Y??8 (B) D?X?Y??29
(C) E?X2?Y2??63
?XY5? (D) E?????0
?252?5. 设X1, X2,…, Xn为来自总体N(?,? 2)的样本，X为样本均值，
1n1n1n1n222222 S?(Xi?X)，S3?(Xi??)，S4??(Xi??)2，S2??(Xi?X)，??n?1i?1n?1i?1ni?1ni?121则服从自由度为n ? 1的t 分布的随机变量为（ ）。 (A)
X??X??X??X??n?1 (C) n (D) n n?1 (B)
S2S3S4S16. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体的一个简单随机样本，则EX2的矩估计是（ ）。
1n~21n2(Xi?X) (B)S??(Xi?X)2 (A) S??n?1i?1ni?122~(C)S2?X (D)S2?X
2 得 分 评卷人 三、（10分）汶川大地震发生后会发生余震，设在一天内发生的余震次数N~P(? )，每次余震震级在4级以上的概率为1/2。
（1）求一天内发生震级在4级以上余震次数M的分布列；
（2）若某天发生了5次震级在4级以上的余震，求这天发生了10次余震的概率。
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得 分 评卷人 四、（8分）设随机变量X的概率密度函数为
以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数，求Y的概率分布列。 得 分 评卷人 得 分 评卷人
?1?x,?1?x?0六、（11分）设随机变量X的概率密度为f(x)?? ?1?x,0?x?1，
?0,其它??2x,0?x?1。 f(x)??其它?0, 五、（12分）设X ~ N( ?, ?2 ), P(Y = 1) = 1/3，P(Y = 2) = 2/3，且X
与Y相互独立, Z = XY。求 (1) EZ, DZ；(2) Z的概率密度。
?0,X?1?0,X?02 ， Z?? 。 Y??11,X?1,X?0??2试求：(1) (Y, Z)的联合概率分布；(2) D(Y+Z)。 得 分 评卷人 得 分 评卷人 样本均值，记Yi = Xi ?X，i = 1,2,…,n。求D Yi和Cov( Y1, Yn)。 七、（10分）设X1, X2,…, Xn(n>2)为来自总体N(0,1)的样本，X为
?3e?3(x??),x??八、（10分）设总体X的概率密度为f(x)?? ，
0,x???其中??0是未知参数，设X1,X2,?Xn为来自总体X的样本，求
(1) ? 的极大似然估计量；
??min(X,X,?,X)作为??的估计量，试讨论其是否具有无偏性。 (2) 如果用?12n第 3 页 共 3 页