高中数学经典例题及跟踪训练 空间几何体的表面积与体积I．题源探究·黄金母题
同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出___________． 一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比．
【答案】7 1【解析】由体积相等得：?4???52???22?831＝?r2???4???r2?8，解得r?7． 3【例4】【2015年全国新课标Ⅰ卷】《九章算术》
【答案】1:5
【解析】设长方体的三条棱长分别为a,b,c，则截出的棱锥的体积为V1?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放
111，米堆底?abc?abc，剩下的几何体的体积米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）
326部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
15V2?abc?abc?abc，所以V1:V2?1:5
66
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2015高考山东文】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A）
22?3
（B）
42?3
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则
（）
22?（）
42?
【答案】B
【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，14斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，?2?3r?8=r?16，所以米堆的体积为3所以，其体积为
320?1.62?22，故选B． 9【例3】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、【2015四川高考】在三棱住ABC－A1B1C1高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若【例5】
将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相中，?BAC?90?，其正视图和侧视图都是边长
142???(2)2?22?,，故选B. 331116320??3?()2?5=，故堆放的米约为4339为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥r1、h1，r2、h2，则2?rh11?2?r2h2，
P－A1MN的体积是___________．
【答案】
h1r2?，h2r11 24r3S1?r129又，所以1?，则?2?r2S2?r242
【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直V1角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为
1.如图，因为2【例8】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为?2r1h1?2?V2?r2h222r1?r2h12?2h2r1?r2r2r3． 1??2r1r2AA1PN，故AA1面PMN，故三棱锥P－A1MN与23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都
三棱锥P－AMN体积相等，三棱锥P－AMN的底面积是相等，则该六棱锥的侧面积为___________． 三棱锥底面积的为?【答案】12 1，高为1，故三棱锥P－A1MN的体积41111??． 32424【解析】设六棱锥的高为h，则V?1Sh,.，所3以，?133?4?6h?23,解得h?1，设斜高4为h'，则h2?(3)2?h'2,?h'?2,所以，该六棱锥的侧面积为
1?2?2?6?12． 2【例9】【2014陕西高考】将边长为1的正方形以
【例6】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为a，其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体且其体积为163，则a?___________． 【答案】4
【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积为的侧面积为（ ）
A．4? B．3? C．2? D．? 【答案】C 【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线，高为
132S?aasin60??a24a，所以为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为r?1的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为
32aa?16，解得3a?4． 42?r?2?，宽为1，所以所得几何体的侧面积为【例7】【2014江苏高考】设甲，乙两个圆柱的底面面积分2??1?2?，故选C． 别为S1,S2，体积为V1,V2，若它们的侧面积相等且 精彩解读 S19V?，则1的值是___________．
V2S24【答案】
【试题来源】人教版A版必修二第28页习题1.3A组第3题 【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱3 2与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何
体的体积公式即可正确作答．但须注意设出长方体的三条【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本棱长a,b,c参与辅助解答．
以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.
【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚
（1）对简单几何体的考查主要围绕两点：（1）正确识别几何体的类型；（2）正确选用体积公【难点中心】式与面积公式．
体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息．
【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧（2）求锥的体积确定其高是一个难点． 面积）的计算.