【题文】
1x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是椭
2ab圆C上的一个动点，且?PF1F2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0,)，求直线PQ的斜率.
1813x2y2【答案】（1）??1（2）或
2243【解析】 【分析】
（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线PQ的方程为
y?k?x?1?，线段PQ的中点为N?x0,y0?，根据kTN?kPQ解方程即得直线PQ的斜率. 【详解】(1)因为椭圆离心率为
?3k1?24k?38?k??1，??1，得
4k24k2?31，当P为C的短轴顶点时，△PF1F2的面积有最大值3. 2?c1?a?2?a?2?2?x2y222所以?a?b?c，所以?b?3，故椭圆C的方程为:??1.
43?1?c?1???2c?b?3?2（2）设直线PQ的方程为y?k?x?1?，
x2y2当k?0时，y?k?x?1?代入??1，
432222得:3?4kx?8kx?4k?12?0.
??设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，线段PQ的中点为N?x0,y0?，
y1?y2?3kx1?x24k2y??kx?1? ，??x0??0023?4k223?4k2?4k2?3k?, 即N?22??3?4k3?4k??3k1?24k?38?k??1， k?k??1TN?PQ因为，则TNPQ，所以
4k24k2?313化简得4k2?8k?3?0，解得k?或k=，
2213即直线PQ的斜率为或.
22【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【标题】广西壮族自治区梧州市蒙山县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 【结束】