线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有
一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m
a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12?a13等于（ ）
a22?a23 B. -(m+n) D. m-n
?100???2.设矩阵A=?020?，则A-1等于（ ）
???003??1??3 A. ?0??0??0120?0??0? ?1???
??1?B. ?0???0??1??2D. ?0??0??0120?0??0? ?1??3??1?00???3 C. ?010?? 1???00?2??
?00??1?0 3?01????3?12???3.设矩阵A=?10?1?，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（ ）
????214? A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. B?C时A=0 C. A?0时B=C D. |A|?0时B=C
T
5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（ ） A.η1+η2是Ax=0の一个解
B.
11η1+η2是Ax=bの一个解 22 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=bの一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值 C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2， λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（ ） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 -1T C.A=A D.Aの行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同の特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵の为（ ） A.??23?? ?34? B.??34?? ?26??100??? C.?02?3? ???0?35? ?111???D.?120? ???102?第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每 小题の空格内。错填或不填均无分。 11115.356? . 92536?1?11??123??，B=??.则A+2B= . ?11?1???1?24?16.设A=?17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aijの代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=bの2个不同の解，则它の通解为 . 20.设A是m×n矩阵，Aの秩为r( 21.设向量α、βの长度依次为2和3，则向量α+β与α-βの内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵Aの行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . ?0106??2?????23.设矩阵A=?1?3?3?，已知α=??1?是它の一个特征向量，则α所对应の特征值 ??????2108??2?为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)の秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?120??23?1???T 25.设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）AB； ?240??????121? 26.试计算行列式 ?423???27.设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ????123?3?521110?5?123?413?1?3. ??2??1??3??0?????????1??3?0??1????28.给定向量组α1=??，α2=??，α3=??，α4=?. ?4?022?????????3??4???1??9?试判断α4是否为α1，α2，α3の线性组合；若是，则求出组合系数。 ?1?2?1??24229.设矩阵A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求：（1）秩（A）； （2）Aの列向量组の一个最大线性无关组 ?0?22???30.设矩阵A=??2?34?の全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. ??4?3??2 31.试用配方法化下列二次型为标准形