基本不等式
[最新考纲]
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
a＋b
1．基本不等式：ab≤2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
a＋b
(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号． ?a＋b?2
?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤?
?2?a2＋b2?a＋b?2
?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)2≥?
?2?ba
(4)a＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．
s2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．
辨 析 感 悟
1．对基本不等式的认识
a＋b
(1)当a≥0，b≥0时，2≥ab.(√)
1
a＋b
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与2≥ab成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识 (3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√) a＋b2ab2
(4)＝≤ab≤2≤a＋b11
a＋b
a2＋b22.(×)
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√) 3．利用基本不等式确定最值
π?4?
(6)函数y＝sin x＋sin x，x∈?0，2?的最小值为4.(×)
??(7)(·福州模拟改编)若x＞－3，则x＋
4
的最小值为1.(√) x＋3
a
(8)(·四川卷改编)已知函数f(x)＝4x＋x(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝36.(√) [感悟·提升]
两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，?a＋b?2
?，要弄若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2ab，ab≤?
?2?清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．如(2)、(4)、(6)．
二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
考点一 利用基本不等式证明简单不等式
【例1】 已知x＞0，y＞0，z＞0. ?yz??xz??xy?求证：?x＋x??y＋y??z＋z?≥8.
??????证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0，
yz2 yzxz2 xz
∴x＋x≥x＞0，y＋y≥y＞0，
2
xy2 xy
z＋z≥z＞0， ?yz??xz??xy?∴?x＋x??y＋y??z＋z?≥ ??????8 yz·xz·xy
＝8.
xyz
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
【训练1】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 111
求证：a＋b＋c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴a＋b＋c＝a＋b＋c bcacab＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c ?ba??ca??cb?＝3＋?a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c?
??????≥3＋2＋2＋2＝9，
1
当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．
考点二 利用基本不等式求最值
xy
【例2】 (1)(·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当z取得最212
大值时，x＋y－z的最大值为 A．0 9C.4
( )． B．1 D．3
22
(2)(·广州一模)已知x＋y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为 A．1 C．4
B．2 D．8
3