2016届中考数学复习+专题跟踪突破四 压轴题(1)——二次函数

专题跟踪突破四 压轴题(1)——二次函数

1.(2015·遂宁)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c

经过A(-2,0),B(4,0),C(0,3)三

点.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)在y轴上是否存在点M,使△ACM为等腰三角形?若存在,请直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

?c=3,

解:(1)把A(-2,0),B(4,0),C(0,3)代入抛物线y=ax+bx+c得?0=4a-2b+c,

?0=16a+4b+c,

2

?解得?b=3,

4?c=3,

3a=-,

8

33

则抛物线的解析式是:y=-x2+x+3

84

(2)如图,作线段CA的垂直平分线,交y轴于M1,交AC于N,连接AM1,则△AM1C是等腰三角形,∵AC=OA2+OC2=13,∴CN=

13CNCM1

,∵△CNM1∽△COA,∴=,2COCA

13

2CM1131355∴=,∴CM1=,∴OM1=OC-CM1=3-=,∴M1的坐标是(0,),当CA

3666613=CM2=13时,△AM2C是等腰三角形,则OM2=3+13,M2的坐标是(0,3+13),当CA=AM3=13时,△AM3C是等腰三角形,则OM3=3,M3的坐标是(0,-3),当CA=CM4=13时,△AM4C是等腰三角形,则OM4=13-3,M4的坐标是(0,3-13)

2.(2015·益阳)已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A,B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′.

(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;

(2)如图,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q,B,B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵抛物线E1经过点A(1,m),∴m=12=1.∵抛物线E2的顶点在原点,可设它对应的函数表达式为y=ax2(a≠0),又∵点B(2,2)在抛物线E2上,∴2=a×22,解得:a11

=,∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2 22

(2)如图,假设在第一象限内,抛物线E1上存在点Q,使得△QBB′为直角三角形,由图象可知直角顶点只能为点B或点Q.①当点B为直角顶点时,过B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于Q1,则点Q1与B的横坐标相等且为2,将x=2代入y=x2得y=4,∴点Q1的坐标为(2,4) ②当点Q为直角顶点时,则有Q2B′2+Q2B2=B′B2,过点Q2作GQ2⊥BB′于G,设点Q2的坐标为(t,t2)(t>0),则有(t+2)2+(t2-2)2+(2-t)2+(t2-2)2=42,整理得:t4-3t2=0,∵t>0,∴t2-3=0,解得t1=3,t2=-3(舍去),∴点Q2的坐标为(3,3),综合①②,存在符合条件的点Q坐标为(2,4)与(3,3)

3.(2015·贵阳模拟)如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,A,B两点的坐标分别为(-1,0),(0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;

(3)在直线DE上存在点P,使得以C,D,P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

解:(1)∵抛物线

y=x2+bx+c

?1-b+c=0,

经过A(-1,0),B(0,-3),∴?解得

?c=-3,

?b=-2,

故抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3 (2)令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2?

?c=-3,

=3,则点C的坐标为(3,0),∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴点E坐标为(1,-4),设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴于点F,∵DC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+12,∵DC=DE,∴m2+9=m2+8m+16+1,解得m=-1,∴点D的坐标为(0,-1)

(3)∵点C(3,0),D(0,-1),E(1,-4),∴CO=DF=3,DO=EF=1,根据勾股定理,

CD=OC2+OD2=32+12=

?CO=DF,

10,在△COD和△DFE中,∵?∠COD=∠DFE=90°,∴

?DO=EF,

△COD≌△DFE(SAS),∴∠EDF=∠DCO,又∵∠DCO+∠CDO=90°,∴∠EDF+∠CDO=90°,∴∠CDE=180°-90°=90°,∴CD⊥DE,①OC与CD是对应边时,∵△DOCOCOD3110DG

∽△PDC,∴=,即=,解得DP=,过点P作PG⊥y轴于点G,则=

DCDP3DF10DP10

3PGDPDGPG1

=,即==,解得DG=1,PG=,当点P在点D的左边时,OG=DG-EFDE313101

DO=1-1=0,所以点P(-,0),当点P在点D的右边时,OG=DO+DG=1+1=2,所

31OCOD31

以,点P(,-2);②OC与DP是对应边时,∵△DOC∽△CDP,∴=,即=,

3DPDCDP10DGPGDPDGPG310

解得DP=310,过点P作PG⊥y轴于点G,则==,即==,解得

DFEFDE3110

DG=9,PG=3,当点P在点D的左边时,OG=DG-OD=9-1=8,所以,点P的坐标是(-3,8),当点P在点D的右边时,OG=OD+DG=1+9=10,所以,点P的坐标是(3,11

-10),综上所述,满足条件的点P共有4个,其坐标分别为(-,0),(,-2),(-3,8),

33(3,-10)

4.(2015·重庆)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴交于点E. (1)求直线AD的解析式;

(2)如图,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;

(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.

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