专题跟踪突破四 压轴题(1)——二次函数
1．(2015·遂宁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c
经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)三
点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
?c＝3，
解：(1)把A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)代入抛物线y＝ax＋bx＋c得?0＝4a－2b＋c，
?0＝16a＋4b＋c，
2
?解得?b＝3，
4?c＝3，
3a＝－，
8
33
则抛物线的解析式是：y＝－x2＋x＋3
84
(2)如图，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M1，交AC于N，连接AM1，则△AM1C是等腰三角形，∵AC＝OA2＋OC2＝13，∴CN＝
13CNCM1
，∵△CNM1∽△COA，∴＝，2COCA
13
2CM1131355∴＝，∴CM1＝，∴OM1＝OC－CM1＝3－＝，∴M1的坐标是(0，)，当CA
3666613＝CM2＝13时，△AM2C是等腰三角形，则OM2＝3＋13，M2的坐标是(0，3＋13)，当CA＝AM3＝13时，△AM3C是等腰三角形，则OM3＝3，M3的坐标是(0，－3)，当CA＝CM4＝13时，△AM4C是等腰三角形，则OM4＝13－3，M4的坐标是(0，3－13)
2．(2015·益阳)已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线E1经过点A(1，m)，∴m＝12＝1.∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y＝ax2(a≠0)，又∵点B(2，2)在抛物线E2上，∴2＝a×22，解得：a11
＝，∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y＝x2 22
(2)如图，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q.①当点B为直角顶点时，过B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2，将x＝2代入y＝x2得y＝4，∴点Q1的坐标为(2，4) ②当点Q为直角顶点时，则有Q2B′2＋Q2B2＝B′B2，过点Q2作GQ2⊥BB′于G，设点Q2的坐标为(t，t2)(t＞0)，则有(t＋2)2＋(t2－2)2＋(2－t)2＋(t2－2)2＝42，整理得：t4－3t2＝0，∵t＞0，∴t2－3＝0，解得t1＝3，t2＝－3(舍去)，∴点Q2的坐标为(3，3)，综合①②，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(3，3)
3．(2015·贵阳模拟)如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
(3)在直线DE上存在点P，使得以C，D，P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)∵抛物线
y＝x2＋bx＋c
?1－b＋c＝0，
经过A(－1，0)，B(0，－3)，∴?解得
?c＝－3，
?b＝－2，
故抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3 (2)令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2?
?c＝－3，
＝3，则点C的坐标为(3，0)，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴点E坐标为(1，－4)，设点D的坐标为(0，m)，作EF⊥y轴于点F，∵DC2＝OD2＋OC2＝m2＋32，DE2＝DF2＋EF2＝(m＋4)2＋12，∵DC＝DE，∴m2＋9＝m2＋8m＋16＋1，解得m＝－1，∴点D的坐标为(0，－1)
(3)∵点C(3，0)，D(0，－1)，E(1，－4)，∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，根据勾股定理，
CD＝OC2＋OD2＝32＋12＝
?CO＝DF，
10，在△COD和△DFE中，∵?∠COD＝∠DFE＝90°，∴
?DO＝EF，
△COD≌△DFE(SAS)，∴∠EDF＝∠DCO，又∵∠DCO＋∠CDO＝90°，∴∠EDF＋∠CDO＝90°，∴∠CDE＝180°－90°＝90°，∴CD⊥DE，①OC与CD是对应边时，∵△DOCOCOD3110DG
∽△PDC，∴＝，即＝，解得DP＝，过点P作PG⊥y轴于点G，则＝
DCDP3DF10DP10
3PGDPDGPG1
＝，即＝＝，解得DG＝1，PG＝，当点P在点D的左边时，OG＝DG－EFDE313101
DO＝1－1＝0，所以点P(－，0)，当点P在点D的右边时，OG＝DO＋DG＝1＋1＝2，所
31OCOD31
以，点P(，－2)；②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴＝，即＝，
3DPDCDP10DGPGDPDGPG310
解得DP＝310，过点P作PG⊥y轴于点G，则＝＝，即＝＝，解得
DFEFDE3110
DG＝9，PG＝3，当点P在点D的左边时，OG＝DG－OD＝9－1＝8，所以，点P的坐标是(－3，8)，当点P在点D的右边时，OG＝OD＋DG＝1＋9＝10，所以，点P的坐标是(3，11
－10)，综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(－，0)，(，－2)，(－3，8)，
33(3，－10)
4．(2015·重庆)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E. (1)求直线AD的解析式；
(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．