第七章 微分方程
第37次 微分方程的概念 分离变量法
一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该
解是通解还是特解：
1．xy??3y?0(y?Cx?3) 解 一阶
y???3Cx?4
xy??3y?x?(?3Cx?4)?3Cx?3?0， 所以y?Cx?3为微分方程的解
又y?Cx?3中只含有一个任意常数，故其为通解． 2．kxdx?dy?0(y?解 一阶
12kx) 2dy?kxdx
kxdx?dy?kxdx?kxdx?0， 所以y?又y?12kx为微分方程的解 212kx中不含有任意常数，故其为特解． 23．y???y?0(y?Csinx) 解 二阶
y??Ccosx，y????Csinx
y???y??Csinx?Csinx?0， 所以y?Csinx为微分方程的解
又y?Csinx中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解． 4．y???2y??y?0(y?xe) 解 二阶
2xy??2xex?x2ex，y???(2xex?x2ex)??2ex?2xex?2xex?x2ex?2ex?4xex?x2ex y???2y??y?2ex?4xex?x2ex?2(2xex?x2ex)?x2ex?2ex?0，
所以y?xe不是微分方程的解 二、求下列微分方程的通解：
2x1．(xy2?x)dx?(1?x2)dy?0 解
dy?x??1?y2?1?x2dx
12ln?(x21?C ) arctayn??2．(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0
eyexdy???xdx 解 ?ye?1e?1lney?1??lnex?1?lnC
即 (ey?1)(ex?1)?C 3．
dy?2xy?x dx解
dy?2y?1???xdx
2112Ce?x?1?x2ln2y?1??x?C?2y?1?Ce?y? 2224．y?sinx?ylny
解
?dy??cscxdx ylnylnlny?lncscx?cotx?lnC
c? lny?C(csxcox t三、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1．y??e解
5x?2y,y(0)?0
2y5xedy?e??dx
12y15xe?e?C 253又y(0)?0，C?
1012y15x3微分方程的特解：e?e?
25102．
dy?(1?y2)tanx,y(0)?2 dx解
dy?1?y2??tanxdx
11?y1?yln?lnsecx?lnC??Csec2x 21?y1?y又y(0)?2，C??3
微分方程的特解：
1?y??3sec2x 1?y四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量R0的一半.试求镭的现存量R与时间t的关系.
dR???R dtdR???dt ?R?解
lnR???t?lnC?R?Ce??t
又R(0)?R0，C?R0；所以R?R0e??t
ln2?tR0R0ln2?1600??R0e又R(1600)?， ，所以??；故R?R0e1600
221600
第38次 变量代换法 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解或特解： 1．(x?y)dx?xydy?0 解
22dyxy?? （1） dxyxy, 则y??u?xu?, x1代入（1）得：u?xu???u
u1分离变量 udu?dx
x1两边积分 ?udu??dx
x令u?