（1） 设{X(t),t?0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为
E{X(s)X(t)}?B(t?s),s?t，且是一个周期为T的函数，即B(??T)?B(?),??0，求方差函数D[X(t)?X(t?T)]。
解：由定义，有：
D[X(t)?X(t?T)]?D[X(t)]?D[X(t?T)]?2E{[X(t)?EX(t)][X(t?T)?EX(t?T)]}
?B(0)?B(0)?2E{X(t)X(t?T)}?B(0)?B(0)?2B(T)?0（2） 试证明：如果{X(t),t?0}是一独立增量过程，且X(0)?0，那么它必是一个马
尔可夫过程。
证明：我们要证明：
?0?t1?t2???tn，有
P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??P{X(tn)?xX(tn?1)?xn?1}形式上我们有：
P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}???
P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}
因此，我们只要能证明在已知X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当a?tj?tn?1?tn,j?1,2,?,n?2时，增量
X(tj)?X(0)与X(tn)?X(tn?1)相互独立，由于在条件X(tn?1)?xn?1和X(0)?0下，即
有X(tj)与X(tn)?xn?1相互独立。由此可知，在X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与
X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立，结果成立。
（3） 设随机过程{Wt,t?0}为零初值（W0?0）的、有平稳增量和独立增量的过程，
2且对每个t?0，Wt~N(?,?t)，问过程{Wt,t?0}是否为正态过程，为什么？
解：任取?0?t1?t2???tn，则有：
.. ..
Wtk??[Wti?Wti?1]k?1,2,?,n
i?1k由平稳增量和独立增量性，可知Wti?Wti?1~N(0,?2(ti?ti?1))并且独立 因此(Wt1,Wt2?Wt1,?,Wtn?Wtn?1)是联合正态分布的，由
?Wt1??10?0??Wt1????????Wt2??11?0??Wt2?Wt1? ??????????0???????Wt??11?1??Wt?Wt???nn?1??n??可知是正态过程。
（4） 设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并
说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：
RB(s,t)??2min{s,t}
如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：
/RB(t??t,t)?RB(t,t)?0?t??0?t
RB(t??t,t)?RB(t,t)/RB(t,t)?lim??2??t??0?t/RB?(t,t)?lim故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
/（5） 设Nt，t?0是零初值、强度??0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均
方意义下，Yt??Nds,t?0是否存在，为什么？
0st解：泊松过程的转移率矩阵为：
?????0?0Q??????????00???????0????????