（1） 设{X(t),t?0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为
E{X(s)X(t)}?B(t?s),s?t，且是一个周期为T的函数，即B(??T)?B(?),??0，求方差函数D[X(t)?X(t?T)]。
解：由定义，有：
D[X(t)?X(t?T)]?D[X(t)]?D[X(t?T)]?2E{[X(t)?EX(t)][X(t?T)?EX(t?T)]}
?B(0)?B(0)?2E{X(t)X(t?T)}?B(0)?B(0)?2B(T)?0（2） 试证明：如果{X(t),t?0}是一独立增量过程，且X(0)?0，那么它必是一个马
尔可夫过程。
证明：我们要证明：
?0?t1?t2???tn，有
P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??P{X(tn)?xX(tn?1)?xn?1}形式上我们有：
P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}???
P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}
因此，我们只要能证明在已知X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当a?tj?tn?1?tn,j?1,2,?,n?2时，增量
X(tj)?X(0)与X(tn)?X(tn?1)相互独立，由于在条件X(tn?1)?xn?1和X(0)?0下，即
有X(tj)与X(tn)?xn?1相互独立。由此可知，在X(tn?1)?xn?1条件下，X(tn)与
X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立，结果成立。
（3） 设随机过程{Wt,t?0}为零初值（W0?0）的、有平稳增量和独立增量的过程，
2且对每个t?0，Wt~N(?,?t)，问过程{Wt,t?0}是否为正态过程，为什么？
解：任取?0?t1?t2???tn，则有：
.. ..
Wtk??[Wti?Wti?1]k?1,2,?,n
i?1k由平稳增量和独立增量性，可知Wti?Wti?1~N(0,?2(ti?ti?1))并且独立 因此(Wt1,Wt2?Wt1,?,Wtn?Wtn?1)是联合正态分布的，由
?Wt1??10?0??Wt1????????Wt2??11?0??Wt2?Wt1? ??????????0???????Wt??11?1??Wt?Wt???nn?1??n??可知是正态过程。
（4） 设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并
说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：
RB(s,t)??2min{s,t}
如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：
/RB(t??t,t)?RB(t,t)?0?t??0?t
RB(t??t,t)?RB(t,t)/RB(t,t)?lim??2??t??0?t/RB?(t,t)?lim故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
/（5） 设Nt，t?0是零初值、强度??0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均
方意义下，Yt??Nds,t?0是否存在，为什么？
0st解：泊松过程的转移率矩阵为：
?????0?0Q??????????00???????0????????
???????????02其相关函数为：RN(s,t)??min{s,t}??st，由于在?t，RN(t,t)连续，故均
方积分存在。
（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0
表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：
.. ..
?pP??00?p10p01??0.750.25? ????p11??0.50.5?试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3)。
1,2,3,4?,一步转移概率矩阵如下： （7） 设齐次马氏链?Xn,n?0?,S??01/21/2??0??01/21/2??0P?? ?1/21/200???1/21/200???（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）； （b）求n步转移概率矩阵；
（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？
解：（a）略
（b）P(n)?P??n?Pn?奇数 2?Pn?偶数（c）此链不具遍历性
（8） 设Y(t)?X(?1)N(t),t?0，其中{N(t);t?0}为强度为??0的Poission过程，随
机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：
P{X??a}?P{X?a}?1/4,P{X?0}?1/2,a?0
问：随机过程Y(t),t由于：E{Y(t)}?0
?0是否为平稳过程？请说明理由。
RY(t1,t2)?EX2?(?1)N(t1)?N(t2)?EX2E(?1)N(t1)?N(t2)?2a22N(t1)?N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?E(?1)2a2??E(?1)N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?nP{N(t2)?N(t1)?n}?2n?0???????a2E?(?1)?
???a2?2[?(t2?t1)]n??(t2?t1)a2?2?(t2?t1)a2?2??(?1)e?e?e??t2?t1?n!22n?0?n故{Y(t)}是平稳过程。
2（9） 设Xt?X?2Yt,t?0，其中X与Y独立，都服从N(0,?)
（a）此过程是否是正态过程？说明理由。 （b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
.. ..