中国科学大学随机过程(孙应飞)复习试题和答案

(1) 设{X(t),t?0}是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为

E{X(s)X(t)}?B(t?s),s?t,且是一个周期为T的函数,即B(??T)?B(?),??0,求方差函数D[X(t)?X(t?T)]。

解:由定义,有:

D[X(t)?X(t?T)]?D[X(t)]?D[X(t?T)]?2E{[X(t)?EX(t)][X(t?T)?EX(t?T)]}

?B(0)?B(0)?2E{X(t)X(t?T)}?B(0)?B(0)?2B(T)?0(2) 试证明:如果{X(t),t?0}是一独立增量过程,且X(0)?0,那么它必是一个马

尔可夫过程。

证明:我们要证明:

?0?t1?t2???tn,有

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??P{X(tn)?xX(tn?1)?xn?1}形式上我们有:

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}???

P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}

因此,我们只要能证明在已知X(tn?1)?xn?1条件下,X(tn)与X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知,当a?tj?tn?1?tn,j?1,2,?,n?2时,增量

X(tj)?X(0)与X(tn)?X(tn?1)相互独立,由于在条件X(tn?1)?xn?1和X(0)?0下,即

有X(tj)与X(tn)?xn?1相互独立。由此可知,在X(tn?1)?xn?1条件下,X(tn)与

X(tj),j?1,2,?,n?2相互独立,结果成立。

(3) 设随机过程{Wt,t?0}为零初值(W0?0)的、有平稳增量和独立增量的过程,

2且对每个t?0,Wt~N(?,?t),问过程{Wt,t?0}是否为正态过程,为什么?

解:任取?0?t1?t2???tn,则有:

.. ..

Wtk??[Wti?Wti?1]k?1,2,?,n

i?1k由平稳增量和独立增量性,可知Wti?Wti?1~N(0,?2(ti?ti?1))并且独立 因此(Wt1,Wt2?Wt1,?,Wtn?Wtn?1)是联合正态分布的,由

?Wt1??10?0??Wt1????????Wt2??11?0??Wt2?Wt1? ??????????0???????Wt??11?1??Wt?Wt???nn?1??n??可知是正态过程。

(4) 设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并

说明理由。

解:标准布朗运动的相关函数为:

RB(s,t)??2min{s,t}

如果标准布朗运动是均方可微的,则RB(t,t)存在,但是:

/RB(t??t,t)?RB(t,t)?0?t??0?t

RB(t??t,t)?RB(t,t)/RB(t,t)?lim??2??t??0?t/RB?(t,t)?lim故RB(t,t)不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。

/(5) 设Nt,t?0是零初值、强度??0的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均

方意义下,Yt??Nds,t?0是否存在,为什么?

0st解:泊松过程的转移率矩阵为:

?????0?0Q??????????00???????0????????

???????????02其相关函数为:RN(s,t)??min{s,t}??st,由于在?t,RN(t,t)连续,故均

方积分存在。

(6) 在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关,以0

表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为:

.. ..

?pP??00?p10p01??0.750.25? ????p11??0.50.5?试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布(平稳分布)。

解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为(2/3,1/3)。

1,2,3,4?,一步转移概率矩阵如下: (7) 设齐次马氏链?Xn,n?0?,S??01/21/2??0??01/21/2??0P?? ?1/21/200???1/21/200???(a)写出切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程); (b)求n步转移概率矩阵;

(c)试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么?

解:(a)略

(b)P(n)?P??n?Pn?奇数 2?Pn?偶数(c)此链不具遍历性

(8) 设Y(t)?X(?1)N(t),t?0,其中{N(t);t?0}为强度为??0的Poission过程,随

机变量X与此Poission过程独立,且有如下分布:

P{X??a}?P{X?a}?1/4,P{X?0}?1/2,a?0

问:随机过程Y(t),t由于:E{Y(t)}?0

?0是否为平稳过程?请说明理由。

RY(t1,t2)?EX2?(?1)N(t1)?N(t2)?EX2E(?1)N(t1)?N(t2)?2a22N(t1)?N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?E(?1)2a2??E(?1)N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?nP{N(t2)?N(t1)?n}?2n?0???????a2E?(?1)?

???a2?2[?(t2?t1)]n??(t2?t1)a2?2?(t2?t1)a2?2??(?1)e?e?e??t2?t1?n!22n?0?n故{Y(t)}是平稳过程。

2(9) 设Xt?X?2Yt,t?0,其中X与Y独立,都服从N(0,?)

(a)此过程是否是正态过程?说明理由。 (b)求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。

.. ..

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