湖南大学课程考试试卷
课程名称：热力学
1. 简答题。(40分)
1.1, 相对论性的费米子体系，自旋为1/2。设运动约束在二维空间，求态密度。(8分)
1.2, 低温下某晶体的热容量表达为如下两项，那一项来自点阵? 那一项来自电子? (5分
1.3, 零温下金属中电子具有压强，称为简并压，参见教材P.367。这个压强很大，于是，这个压强直接施加于金属的表面还是其它? 为什么? (6分)
1.4, 一个分子的能量可以写成若干部分之和，例如平动、转动、振动和电子运动等，参见教材P.334-335。为什么在玻色子的玻色-爱因斯坦凝聚中，不考虑除平动以外的其它部分? 为什么? (5分)
1.5, 设有电子气体，当粒子数给定时，是否温度下降一定导致简并? 为什么? (8分)
1.6, 何谓自由度冻结? 当温度下降时，双原子理想气体的平动、转动、振动和电子运动这四个自由度冻结的次序为? (8分) 2. 设有一个盒子理想气体中有N个粒子。现将盒子假想为左右体积相同的
两半，每个粒子就有或左或右2个微观状态。参见教材P.282。试解答：2.1, 什么系统的宏观状态? 2.2, 求体系微观状态的总数目和最可几分布中包含的微观状态的数目，说明二者在何种意义上相等； 2.3, 说明在这个例子中最可几分布和平均分布相等。(20分) 3. 求频率为?的谐振子的子系配分函数，并讨论当温度为T时的平均能量、
热容量和熵。当温度为零时，这些量为零吗? 参见教材P.291。(20分) 4. 求单原子经典理想气体、强简并量子理想气体的化学势。(20分) 附加题
从6章和7章的学习中，你觉得最有趣的内容有那些? 疑问有那些?
参考答案
第1题 1.1
由于相对论性的自由粒子满足?2?(cp)2?(mc2)2。 微分之得：2?d??2c2pdp，即：pdp??c2d?。
d2pd2q体积元之内的微观状态数为d2pd2q/h2. 设体系的面积为S。则
d2pd2qS22。在二维情况下，将角度部分积分，得2?pdp。dp?pdpd?，?dp22?hhS于是得结果
2?S?d?。考虑自旋1/2，得简并因子2. 最后得到结果： h2c24?S?d?. 22hc1.2
aT来自电子，bT3来自点阵。
1.3
电子之间有强烈的压强，这个压强和点阵(离子)之间的静电力场平衡。 1.4
Bose子的BEC指原子质心运动的凝聚。 1.5
由于简并性条件是n?T3??T，即使是低温，只要密度足够低，无论玻色子还是费米子，都不会简并。也就是，原则上，零温附近，对于费米子一样可以有经典理想气体；对于费米子，如果密度不是非常高，还会形成电子(魏格纳)晶体。 1.6
自由度冻结指的是，当温度较低时，一类自由度对热容量的的贡献可以忽略不计，称之为自由度冻结。当温度下降时，电子运动，振动，转动将依次冻结，平动尽在绝对零度时才冻结。
第2题
2.1 体积和粒子数。 2.2 微观状态总数为2N.
最可几分布中包含的围观状态数目为N!/(N2!)。 2ln2N?1. 二者相等指的是当N很大时，
N2lnN!/(!)22N??. 注意，limN??N2N!/(!)22.3 最可几分布是左右各一半分子N/2. 这一N/2也可以认为是从0到N这N+1种微观状态出现机会相等的平均值N/2=[0+1+2+…….+(N+1)] / (N+1)
第3题
利用玻尔兹曼统计，子系的配分函数为
Z(?)??ei?0????i?e1???i211??(i?)?w. ，其中i???w21?e平均能量为 ?(?)?????1lnZ(?)???????. ??e?12??(?)e???2热容量C(?)?. ?k(???)???2?T(e?1)熵为，
S(?)?k[lnZ???lnZ(?)]??11????k[?????ln(1?e????)????????]
22e?1????k[????ln(1?e????)]e?1当温度趋于零时，热容量和熵均为零，但是内能为??/2.
第4题
单原子经典理想气体，化学势为负(p.338)。 强简并玻色气体化学势近似为零(p.357)。
强简并费米气体化学势为正，即费米能(p.370)。