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第三节 两角和与差及二倍角三角函数公
式
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
知识梳理
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝________________(简记为Sα±β)； cos(α±β)＝________________(简记为Cα±β)； tan(α±β)＝________________(简记为Tα±β)．
答案：sin αcosβ±cos αsin β cos αcos β?sin αsin tan α±tan ββ 1?tan αtan β
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α＝________(简记为S2α)；
cos 2α＝________________(简记为C2α)； tan 2α＝________(简记为T2α)．
222
答案：2sin αcos α cosα－sinα＝2cosα－1＝1－
2tan α2
2sinα 2
1－tanα
三、二倍角余弦公式的变式
1＋cos 2α1－cos 2α22
1．降幂公式：cosα＝，sinα＝.
22
22
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cosα，1－cos 2α＝2sinα.
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四、辅助角公式
asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ
)其中φ
角所在的象限
b由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定．
a
基础自测
4
1．已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )
5
2412424A．－ B．－ C．－ D. 2525525
43
解析：由题意知cos θ＜0，又sin θ＝，∴cos θ＝－，
5524
故sin 2θ＝2 sin θcos θ＝－. 25
答案：A
?π?3?2．已知sin?＋θ??＝5，则sin 2θ的值为( ) 4??
197167A．－ B．－ C．－ D. 25252525
?π?3ππ3??
解析：由sin?＋θ?＝得sincos θ＋cossin θ＝，45445??3218
即cos θ＋sin θ＝，平方得1＋2sin θcos θ＝，
5257
∴sin 2θ＝－.故选B.
25
答案：B
?π?1α??
3．若cos α＝，其中α∈?－，0?，则sin 的值是
222??
________________．
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?α1－cos α1α??π解析：sin ＝＝，又∈?－，0?， ?2242?4?
α1
∴sin ＝－.
221
答案：－ 2
4
4．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α
3
＝________.
44
解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan 2α＝－，由二倍角
33
2tan α41
公式得＝－，又α为第二象限角，∴tan α＝－. 2
1－tanα32
1
答案：－ 2
2
1．(2012·山东卷)若θ
?π∈??4?
π?37?，?，sin 2θ＝，则sin 2?8
θ＝( )
3473A. B. C. D. 5544
?π?π?π????
解析：∵θ∈?，?，∴2θ∈?，π??，cos 2θ<0. 422????
12
∴cos 2θ＝－1－sin2θ＝－.
819322
又cos 2θ＝1－2sinθ＝－，∴sinθ＝，sin θ＝.8164
故选D.
答案：D
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