第1讲 等差数列、等比数列
限时45分钟 满分74分
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．an＝2n－5 C．Sn＝2n－8n
2
B．an＝3n－10 12
D．Sn＝n－2n
2
??4a1＋6d＝0，
解析：A [设{an}的公差为d，则?
?a1＋4d＝5，?
解得a1＝－3，d＝2.
∴an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，
nn－12
Sn＝－3n＋×2＝n－4n，故选A.]
2
2．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，
A．0 C．Sn的最大值为S9 a7－1 <0.则下列结论正确的是( ) a8－1 B．a7·a9>1 D．Tn的最大值为T7 解析：AD [本题考查等比数列的性质及前n项积的最值． ∵a1>1，a7·a8>1， a7－1 <0，∴a7>1，a8<1， a8－1 2 ∴0 ∵a1>1,0 3．(2020·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩未一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6斤 C．9.5斤 B．9斤 D．12斤 解析：A [依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，故选A.] 1 4．(2020·荆州质检)已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋ 3 - 1 - a7＋a9)等于( ) A．－3 1C．－ 3 解析：A [∵5an＋1＝25·5an＝52＋an， ∴an＋1＝an＋2， ∴数列{an}是等差数列，且公差为2. ∵a2＋a4＋a6＝9， ∴3a4＝9，a4＝3. 1111 ∴log(a5＋a7＋a9)＝log3a7＝log3(a4＋6)＝log27＝－3.] 3333 5．(2020·豫西五校联考)在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在 B．3 1 D. 3 S1S2S15 ，，…，中最大的是( ) a1a2a15 A. C. 15 解析：B [由于S15＝ S1a1S9a9 B. D. S8a8 S15 a15 a1＋a15 2 ＝15a8＞0， S16＝ 16a1＋a16 2 ＝8(a8＋a9)＜0， 可得a8＞0，a9＜0. 这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，S1a1S2a2S8a8S9a9S10S15 ＜0，…，＜0， a10a15 而0＜S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8＞0， 所以在，，…，故选B.] 6．(2020·洛阳联考)数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{cn}为等比数列，则a＋b等于( ) A.2 C.5 B．3 D．6 S1S2 a1a2S15S8 中最大的是. a15a8 解析：B [由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列， 所以b≠1.由an＝abn－1 ， - 2 - a1－bnaabn得bn＝1＋＝1＋－， 1－b1－b1－ba?ab1－bn?则cn＝2＋?1＋· ?n－ 1－b?1－b?1－bab＝2－ 1－b1－b＋an＋2＋ 1－babn＋11－b2 ， ab2－??1－b＝0， 要使{c}为等比数列，必有?1－b＋a??1－b＝0， 2 n ??a＝1， 得? ?b＝2，? a＋b＝3.] 7．(2020·重庆二调)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是( ) A. 1＋5±1＋5 B. 22±1＋3 2 －1＋3D. 2 C. 解析：B [因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4 得2a1q＝a1＋a1q，又a1≠0，所以2q＝1＋q，整理得q(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，1＋523 所以q＝q＋1，又q＞0，得q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q，又 2 2 3 2 3 2 a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0， －1＋5得q＝. 2 ±1＋5 综上所述，q＝，故选B.] 2 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 8．(2020·资阳诊断)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10值为________． 解析：依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2 0 1 9 n－1 ＝2 9 n－1 ，abn＝bn＋1＝2 n－1 ＋1，因此 1－2×210 ab1＋ab2＋…＋ab10＝(2＋1)＋(2＋1)＋…＋(2＋1)＝＋10＝2＋9＝1 033. 1－2 答案：1 033 9．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____________，Sn的最小值为____________． - 3 -