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第4讲 数列求和
一、选择题
n1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)(2n－1)，则该数列的前100项之和为( ) A．－200 B．－100 C．200 D．100
解析：选D.由题意知S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.
2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)，n∈N，则S60的值为( ) A．990 B．1 000 C．1 100 D．99 解析：选A.n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.
113n3．Sn＝＋＋＋…＋n等于( )
22822－nA．n
22－n＋1C． n＋1
2
123n解析：选B.由Sn＝＋2＋3＋…＋n，①
2222112n－1n得Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，② 22222①－②得，
11111nSn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1 2222221??1?n????2?1－??2??n＝－n＋1，
121－22
所以Sn＝
n＋1
nnn*
B.D.
22
n＋1
－n－2
n2－n＋2
n2
n＋1
－n－2
. n2
1
4．数列{an}的通项公式是an＝A．120 C．11 解析：选A.an＝
n＋n＋11
n＋n＋1
，若前n项和为10，则项数n为( )
B．99 D．121
1
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n＋1－n＝ （n＋1＋n）（n＋1－n）
＝n＋1－n，
所以a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝10. 即n＋1＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
11115.2＋2＋2＋…＋的值为( ) 2
2－13－14－1（n＋1）－1
n＋13n＋1A． B.－ 2（n＋2）42（n＋2）
1?31?1311
＋C．－? D.－＋ ?42?n＋1n＋2?2n＋1n＋2
111
解析：选C.因为＝2＝ 2（n＋1）－1n＋2nn（n＋2）1?1?1
＝?－?， 2?nn＋2?
1111所以2＋2＋2＋…＋ 2
2－13－14－1（n＋1）－111?1?11111
＝?1－＋－＋－＋…＋－
32435nn＋2?2??11?1?3
－＝?－?
2?2n＋1n＋2?1?31?1＋＝－??.
42?n＋1n＋2?
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 019的值为( ) A．1 008 B．1 009 C．1 010 D．1 011
解析：选C.因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a 2 018＋a2 019)＝1 010，故选C.
二、填空题
a2n＋1*
7．(2018·合肥第二次质量检测)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N)，
an则其前9项和S9＝________．
22222
解析：由已知，得an＋1＝4anan＋1－4an，即an＋1－4anan＋1＋4an＝(an＋1－2an)＝0，所以an＋12×（1－2）10
＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝2－2＝1 022.
1－2
答案：1 022
8．(2018·武昌调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列?
??anan＋1?
9
1?
?的前9项和为________．
???a5≥0?a1＋4d≥099
解析：由Sn≤S5得?，即?，得－≤d≤－，又
45?a6≤0?a1＋5d≤0??
a2为整数，所以d＝－2，
2
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an＝a1＋(n－1)×d＝11－2n，
?1?1?1?11
?的前n项和Tn＝＝?－，所以数列??anan＋1d?anan＋1?d?anan＋1?
1
1?1?1－1＋1－1＋…＋1－1?＝1?1－1?，所以T＝－1×?1－?－?＝－. ???a1a2a2a3???9??anan＋1?d?a1an＋1?2?9?9??9?
1
答案：－
9
112
9．已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列的前20项的和等于________．
22112解析：因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，
221
所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，
2
1??，n＝2k－1（k∈N*），
即得an＝?2
??1，n＝2k（k∈N*），
?1?故数列的前20项的和等于S20＝10×?1＋?＝15. ?2?答案：15
1x?1??2??n－1?，*
10．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f??＋f??＋…＋f?其中n∈N，且n≥2，?21－x?n??n??n?则Sn＝________．
解析：因为f(x)＋f(1－x)
1x11－x＝＋log2 ＋＋log2 21－x2x＝1＋log21＝1，
??1??n－1??＋[f?2?＋f?n－2?]＋…＋?f?n－1?＋f?1??＝n－1. 所以2Sn＝?f??＋f?????????????
??n?
2 ?n???n??n???n??n??
所以Sn＝答案：
n－1
. n－1
2
三、解答题
*
11．设数列{an}满足：a1＝5，an＋1＋4an＝5(n∈N)． (1)是否存在实数t，使{an＋t}是等比数列？ (2)设bn＝|an|，求{bn}的前2 013项的和S2 013. 解：(1)由an＋1＋4an＝5，得an＋1＝－4an＋5. 令an＋1＋t＝－4(an＋t)，得an＋1＝－4an－5t， 所以－5t＝5，所以t＝－1. 从而an＋1－1＝－4(an－1)． 又因为a1－1＝4， 所以an－1≠0.
所以{an－1}是首项为4，公比为－4的等比数列． 所以存在实数t＝－1，使{an＋t}是等比数列．
3