高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第9讲 消元法

第9讲 消元法在解题中的应用

[方法精要] 在一些较复杂的题目中,若含有两个或两个以上的未知数时,为了保证先求出其中的一种数量,往往要通过对某些数量的比较,设法先消去一个或几个未知量,从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来,这种解题方法就是消元法. 用消元法解题时注意以下几点:

1.把条件写成几个等式,并排列在一起进行比较,如果有一种量的数相同,就很容易把这种量消去.

2.如果两种量的数都不相同,可以用一个数去乘等式的两边,使其中的一个量的数相同然后消去这个量.

3.解答后,可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算,检验是否符合题意.

题型一 消元法在平面向量中的应用

→→→→→

例1 设OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,且2a=b,c=b+d,2e=3b+4d,求证:点C是线段AE的中点.

1

破题切入点 本题涉及到的向量比较多,观察结论,根据结论的要求,只需证明c=2(a+e),因此,只要不断消元,即可得到向量c,a,e的关系. 证明 因为2a=b,c=b+d,

所以b=2a,d=c-2a,代入2e=3b+4d, 可得2e=3×2a+4×(c-2a), 1

整理得c=2(a+e),

所以点C是线段AE的中点.

题型二 消元法在解析几何中的应用

x2y2x

例2 已知双曲线a2-b2=1(a>1,b>0)的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与(1,0)到直线a-y4=1的距离之和S≥b5c,则e的取值范围是________.

破题切入点 根据已知的不等式找a,c所满足的不等式,转化为关于离心率e的不等式,通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围. 5

答案 [2,5]

|-b-ab||b-ab|2ab4

解析 ∵S=+=c≥5c,

a2+b2a2+b2

∴2c2≤5ab,即4c4≤25a2(c2-a2), 即4c4-25a2c2+25a4≤0, 即4e4-25e2+25≤0, 55

解得4≤e2≤5,即2≤e≤5.

总结提高 消元思想是中学数学的重要思想方法之一,它既可以显性的表现为具体的技能,如降幂、减少变量的个数等,又指导着思维的方向,如对题设或结论的简化意识等,在解题

- 1 -

的动态思维过程中,如能紧扣消元的数学思想,重视消元法的应用,就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣.

1.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)的值为________. 15答案 4

解析 因为f(x)+g(x)=ax-a-x+2, 则f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2, 联立可得g(x)=2,

又因为g(2)=a,故a=2.

因为f(2)+g(2)=a2-a-2+2,g(2)=a, 15

则f(2)=a2-a-2+2-a=22-2-2+2-2=4.

10

2.(2013·浙江改编)已知α∈R,sin α+2cos α=2,则tan 2α的值为________. 3答案 -4 10

解析 因为sin α+2cos α=2, 又sin2α+cos2α=1, 10

?sin α=-?10,

联立解得?

310

cos α=??10,

310

?sin α=?10,或?

10

cos α=??10,

sin α1sin α

故tan α=cos α=-3,或tan α=cos α=3, 2tan α3

代入可得tan 2α===-14, 1-tan2α

1-?-3?22tan α2×33

或tan 2α===-4. 1-tan2α1-32

y≥x,??

3.设m>1,在约束条件?y≤mx,下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围

??x+y≤1为________. 答案 (1,1+2)

解析 画出可行域,

??y=x,

或分别解方程组?

?y=mx,?

1

2×?-3?

??y=x,?

?x+y=1,?

??y=mx,

? ?x+y=1?

- 2 -

111m1m

得到三个区域端点(0,0),(2,2),(,),当且仅当直线z=x+my过点(,)m+1m+1m+1m+1m2+1

时,z取到最大值z=<2,解得m∈(1,1+2).

m+1

x2y21

4.若椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率e=2,右焦点为F(c,0),方程ax2+2bx+c=0的两个实根分别是x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为________. 答案

2

c1

解析 因为e=a=2,所以a=2c, b3

由a2=b2+c2,得a=2,

2bc1

x1+x2=-a=-3,x1·x2=a=2,

点P(x1,x2)到原点(0,0)的距离d=x21+x22=?x1+x2?2-2x1x2=2.

5.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A,B两点,则弦AB的长为________. 答案 16

解析 抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角为135°,故直线AB的方程为y=-x+2代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB的长AB=2|x1-x2|=16.

PF

6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则PA的最小值是________. 2

答案 2

解析 由题意知x≥0,则焦点F(1,0),PF=x+1,PA=?x+1?2+y2 =?x+1?2+4x,当x=0PAPA4x4x时,=1;当x>0时,1<= 1+≤ 1+=2(当且仅当x=1时取等号).因PFPF?x+1?2?2x?2PA2PFPF2此当x≥0时,1≤PF≤2,2≤PA≤1,PA的最小值是2. x2y2

7.已知双曲线:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点,则k1k2的值为________. 答案 3

c

解析 由题意知e=a=2,则b2=3a2,

双曲线方程可化为3x2-y2=3a2,设A(m,n),M(x,y), y-ny+ny2-n2

则B(-m,-n),k1k2=·= x-mx+mx2-m2=

3x2-3a2-3m2+3a2

x2-m2

=3.

8.已知圆C1 :x2+y2-2x-2y-2=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0,则过两圆交点的公

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共弦所在直线方程为________. 答案 2x+2y-1=0

解析 联立两圆的方程,消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x+2y-1=0. 11

9.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+y2)(x2+4y2)的最小值为________. 答案 9

111

解析 (x2+y2)(x2+4y2)=5+x2y2+4x2y2≥5+2成立.

→→→→

10.设OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,m,n,p,q是不同时为零的实数,如果ma+nb+pc+qd=0,且(m+n)2+(p+q)2=0. 求证:A,B,C,D共线或AB∥CD.

证明 因为(m+n)2+(p+q)2=0,m,n,p,q是不同时为零的实数, ∴m=-n,p=-q,

代入ma+nb+pc+qd=0得n(b-a)=-q(d-c) →→∴nAB=qCD,

∵n≠0,(否则m,p,q均为零), →q→∴AB=nCD, →→∴AB∥CD,

即A,B,C,D共线或AB∥CD.

11·4x2y2=9,当且仅当x2y2=x2y22时等号

11.如图,已知抛物线C:y2=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点,与其焦点的距离为4. (1)求p的值;

(2)设动直线y=x+b(b>3)与抛物线C相交于A、B两点,问在直线l:y=2上是否存在与b的取值无关的定点M,使得∠AMB被直线l平分?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

p

解 (1)由已知得|-3-2|=4,∵p>0,∴p=2. (2)令A(x1,y1),B(x2,y2), 设存在点M(a,2)满足条件, 由已知得kAM=-kBM,

y1-2y2-2y21y22即有+=0,x1=-4,x2=-4;

x1-ax2-a整理得y1y2(y1+y2)+4a(y1+y2)-2(y21+y22)-16a=0;

- 4 -

??y=x+b,由? ?y2=-4x?

得y2+4y-4b=0,

即y1+y2=-4,y1y2=-4b, 则-4b·(-4)+4a(-4)-2[(-4)2+8b]-16a=0, ∴a=-1,

因此存在点M(-1,2),而当b>3时线段AB在点M(-1,2)的左上方,满足题意. 13

12.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为2,且经过点M(1,2). (1)求椭圆C的方程;

→→→

(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足PA·PB=PM2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由. x2y2

解 (1)设椭圆C的方程为a2+b2=1(a>b>0),

?由题意得?c1

a=2,?a2=b2+c2,

解得a2=4,b2=3.

19+a24b2=1,

x2y2

故椭圆C的方程为4+3=1.

(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,

设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得, (3+4k21)x2-8k1(2k1-1)x+16k21-16k1-8=0. 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B, 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k21)·(16k21-16k1-8)=32(6k1+3)>0, 1所以k1>-2. 8k1?2k1-1?

又x1+x2=,

3+4k2116k21-16k1-8

x1x2=,

3+4k21→→→

因为PA·PB=PM2,

5即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=4, 5→

所以(x1-2)(x2-2)(1+k21)=PM2=4. - 5 -

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