第四章 高阶线性方程
教学目的：使学生理解高阶线性微分方程的一般理论；熟练掌握常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace变换；熟练掌握几种可降阶的高阶微分方程的解法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性．
教学内容：
1、线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法．
2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、Laplace变换． 3、高阶方程的降阶和幂级数解法
几种可降阶的高阶微分方程的解法、*幂级数解法． 教学重点：高阶线性微分方程的一般理论及解法 教学难点：比较系数法求特解 教学过程：
§4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 引言
本章主要讨论如下n阶线性微分方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?f(t) (4.1) 1n?1nn?1dtdtdt其中ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)均为区间a?t?b上的连续函数．
若f(t)?0，则方程(4.1)变为
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?0 (4.2) 1n?1nn?1dtdtdt称之为n阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程，称(4.1)为n阶非齐线性微分方程，简称为非齐线性方程，称(4.2)为对应于方程(4.1)的齐线性方程．
方程(4.1)的解的存在唯一性定理
定理１ 若ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)均为区间a?t?b上的连续函数，则对于任
(1)(n?1)意t0?[a,b]及任意的x0,x0,?,x0，方程(4.1)存在唯一解x??(t)，定义于区间
a?t?b上，且满足初始条件：
d?(t0)dn?1?(t0)(1)(n?1)?x0,?,?x0 ?(t0)?x0, (4.3) dtdt证明在下一章给出．
4.1.2齐线性方程的解的性质与结构
首先讨论齐线性方程(4.2)，易得齐线性方程的解的叠加原理．
定理２（叠加原理） 若x1(t),x2(t),?,xk(t)是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)也是(4.2)的解，其中c1,c2,?,ck是任意常数．
当n?k时，方程(4.2)有解
x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) (4.4) 在什么条件下，(4.4)能成为n阶齐线性方程(4.2)的通解？
考虑定义在区间a?t?b上的函数x1(t),x2(t),?,xk(t)，如果存在不全为零的常数
c1,c2,?,ck，使得恒等式c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)?0对于任意的t?[a,b]均成
立，则称这些函数线性相关，否则就称这些函数在所给区间上线性无关．
例（略）
由定义在区间a?t?b上的k个可微k?1次的函数x1(t),x2(t),?,xk(t)所成的行列式
W[x1(t),x2(t),?,xk(t)]?W(t)x1(t)x2(t)?(t)?(t) x1x2???(k?1)x1(k?1)(t)x2(t)称为这些函数的伏朗斯基行列式．
定理３ 若函数x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间a?t?b上线性相关，则在[a,b]上它们的伏朗斯基行列式W(t)?0．
这个定理的逆命题一般不成立（例子见Ｐ105）．
定理４ 若方程(4.2)的解x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间a?t?b上线性无关，则
?xk(t)?(t) ?xk??(k?1)?xk(t)W[x1(t),x2(t),?,xk(t)]在此区间的任何点上均不等于零，即W(t)?0(a?t?b)．
定理５ n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关解．
定理６（通解结构定理） 若x1(t),x2(t),?,xn(t)是方程(4.2)的n个线性无关解，则
方程(4.2)的通解可表为
x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) (4.11) 其中c1,c2,?,cn为任意常数．且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解．
推论 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n．因此可得结论：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间．
方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．
4.1.3 非齐线性方程与常数变易法
考虑n阶非齐线性方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?f(t) (4.1) 1n?1nn?1dtdtdt易见方程(4.2)是它的特殊情形．
性质１ 若x(t)是方程(4.1)的解，而x(t)是方程(4.2)的解，则x(t)?x(t)也是方程(4.1)的解．
性质２ 方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解．
定理７ 设x1(t),x2(t),?,xn(t)是方程(4.2)的基本解组，而x(t)是方程(4.1)的某个解，则方程(4.1)的通解可表为
x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)?x(t) (4.14) 其中为任意常数．且通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解．
定理告诉我们，要解非齐线性方程，只需知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组即可．事实上，只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线性方程的解．
常数变易法 设x1(t),x2(t),?,xn(t)是方程(4.2)的基本解组，因而
x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)) (4.15) 为(4.2)的通解．把其中的任意常数ci看作t的待定函数ci(t)(i?1,2,?,n)，(4.15)变为
x?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)???cn(t)xn(t)) (4.16)
将它代入方程(4.1)，就得到c1(t),c2(t),?,cn(t)必须满足的一个方程，但待定函数有n