数列综合应用(放缩法)

数列综合应用（1）

————用

放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．

二、典例讲解

1．先求和后放缩例1．正数数列

?an?的前n项的和Sn，满足

2Sn?an?1，试求：（1）数列

?an?的通项公式；

（2）设bn?1a，数列?bn?的前n项的和

nan?1为Bn，求证：B?1n

22. 先放缩再求和

①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn, 且a2n?an?2Sn.

) 求证：Sa22(1n?an?1n?4；

(2) 求证：Sn2?SSSn?1?11?S2?????n?2 ②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：

a2n?(?a)n?(a?1)?an；

（2）等比数列{an}中，a1??12，前n项的和为An

，

且Aa27，A9，A8成等差数列．设bnn?1?a，数列{bn}

n前n项的和为B1n，证明：Bn＜

3．

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{an}满足：a1?1，

an?1?(1?n2n)an(n?1,2,3?)．求证： a1n?1?an?3?n?2n?1

④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列(n?1)n(n?1)?321

的逆序数为an，如排列21的逆序数a1?1，排列321的

逆序数a3?6．

（1）求a4、a5，并写出an的表达式；

（2）令ban1n??an?，证明： an?1an2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,….

高考真题再现：

1.（06浙江卷）已知函数

f(x)?x3?x2，数列{xn}

(xn＞0)的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线

y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过

（0，0）和（xn，

f(xn)）两点的直线平行（如图）

求证：当n?N*时， (Ⅰ) x2?x2nn?3xn?1?2xn?1；