第四章
二 次 型
练习4、1
1、写出下列二次型的矩阵
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x3?2x2x3；
（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x3x4。
解：（1）因为
2??x1??20???? f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0?1?1??x2?,
?2?10??x????3?2??20??所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：?0?1?1?。
?2?10???（2）因为
?0
??1
f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?
1??1??0??1
所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为：?
1??1?
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：
111?
?
000?001?
?
010???x1????x2??x?， ?3??x??4?111?
?
000?
。
001?
?
010??
??1?1（1）???2?1??2
?120?21?0?1?1?2??2??1?1122?2?； （2）??1??10??22??11??0?22??0??1?2?。 1??2?1???T解：（1）设X?(x1,x2,x3)，则
??1?1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)???2?1??2?120?21??2??x1????2??x2? ?????x3?2??22 =x1?2x3?x1x2?x1x3?4x2x3。 T（2）设X?(x1,x2,x3,x4)，则
1?0?1?2??1?11?2 f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2?1?10?2?11??022?
?0??x1?1????2??x2? 1??x3????2??x??4?1???22 =?x2?x4?x1x2?2x1x3?x2x3?x2x4?x3x4。
练习4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x2?4x2x3；
（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3；
222（3）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3。
解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵
?2?20????2?。 A=??21?0?20???A的特征方程为
??2 det(?E?A)=
2020??12=(??2)(?2?5??4)=0，
2?由此得到A的特征值?1??2，?2?1，?3?4。
对于?1??2，求其线性方程组(?2E?A)X?0，可解得基础解系为
?1?(1,2,2)。
对于?2?1，求其线性方程组(E?A)X?0，可解得基础解系为： ?2?(2,1,?2)。
对于?3?4，求其线性方程组(4E?A)X?0，可解得基础解系为：
T ?3?(2,?2,1)。
TT将?1,?2,?3单位化，得 ?1?1?11?1?(,,)T，
1223332133 ?2??21?2?(,,?)T， ?3?(,?,)T，
23213323 ?3??3令