解（1）设切点横坐标为x0，则曲线y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是
y?lnx0?1(x?x0)． x01由该切线过原点知lnx0?1?0，从而x0?e，所以该切线的方程是y?x．从而D的面积
eA??(ey?ey)dy?01e?1． 21（2）切线y?x与x轴及直线x?e围成的三角形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为
e1V1??e2，
3曲线y?lnx与x轴及直线x?e围成的图形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为
111V2???(e?ey)2dy??(?e2?2e?)．
022因此，所求体积为
V?V1?V2??6(5e2?12e?3)．
z例47有一立体以抛物线y2?2x与直线x?2所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．
解 选x为积分变量且x?[0,2]．过x轴上坐标为x的点作垂直于x轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x，得等边三角形的面积为
xx?2yy?2x2o 图5－7
A(x)=223(22x)2=23x． 4于是所求体积为V=?A(x)dx=?23xdx=43．
00例48（03研）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为，汽锤第一次击打进地下a（m），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作k，k?0）
的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0?r?1）．问： （1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米） 分析本题属于变力作功问题，可用定积分来求．
解（1）设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn（n?1，2，
?）．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以
W1??kxdx?0x1x2k2k2kkx1?a，W2??kxdx?(x22?x12)?(x12?a2)．
x1222221
由W2?rW1得
x22?x12?ra2，即x22?(1?r)a2，
W3??kxdx?x2x3k2k(x3?x22)?[x32?(1?r)a2]． 22由W3?rW2?r2W1得
x32?(1?r)a2?r2a2，即x32?(1?r?r2)a2．
从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下x3?a1?r?r2（m）． （2）问题是要求limxn，为此先用归纳法证明：xn?1?a1?r???rn．
n??假设xn?1?r???rn?1a，则 Wn?1??xn?1xnkxdx?kk(xn?12?xn2)?[xn?12?(1?r?...?rn?1)a2]． 22由
Wn?1?rWn?r2Wn?1?...?rnW1，
得
xn?12?(1?r?...?rn?1)a2?rna2．
从而
xn?1?1?r???rna.
于是limxn?1n??1?rn?1a?lima?． n??1?r1?r若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下a1?r(m)．
oxx?dxA(0,3)y例49有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．
解建立如图5－8所示的坐标系，选取x为积分变量．则过点A(0,3)，
1B(10,1)的直线方程为y??x?3．
5于是闸门上对应小区间[x,x?dx]的窄条所承受的水压力为
101dF?2xy?gdx．故闸门所受水压力为F=2?g?x(?x?3)dx=
05500?g，其中?为水密度，g为重力加速度． 3B(10,1)x图5－8
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