2014年考研定积分经典例题(完美讲析)

解(1)设切点横坐标为x0,则曲线y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是

y?lnx0?1(x?x0). x01由该切线过原点知lnx0?1?0,从而x0?e,所以该切线的方程是y?x.从而D的面积

eA??(ey?ey)dy?01e?1. 21(2)切线y?x与x轴及直线x?e围成的三角形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为

e1V1??e2,

3曲线y?lnx与x轴及直线x?e围成的图形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为

111V2???(e?ey)2dy??(?e2?2e?).

022因此,所求体积为

V?V1?V2??6(5e2?12e?3).

z例47有一立体以抛物线y2?2x与直线x?2所围成的图形为底,而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形,如图5-7所示.求其体积.

解 选x为积分变量且x?[0,2].过x轴上坐标为x的点作垂直于x轴的平面,与立体相截的截面为等边三角形,其底边长为22x,得等边三角形的面积为

xx?2yy?2x2o 图5-7

A(x)=223(22x)2=23x. 4于是所求体积为V=?A(x)dx=?23xdx=43.

00例48(03研)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功,设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,汽锤第一次击打进地下a(m),根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作k,k?0)

的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问: (1)汽锤打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米) 分析本题属于变力作功问题,可用定积分来求.

解(1)设第n次击打后,桩被打进地下xn,第n次击打时,汽锤所作的功为Wn(n?1,2,

?).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx,所以

W1??kxdx?0x1x2k2k2kkx1?a,W2??kxdx?(x22?x12)?(x12?a2).

x1222221

由W2?rW1得

x22?x12?ra2,即x22?(1?r)a2,

W3??kxdx?x2x3k2k(x3?x22)?[x32?(1?r)a2]. 22由W3?rW2?r2W1得

x32?(1?r)a2?r2a2,即x32?(1?r?r2)a2.

从而汽锤击打3次后,可将桩打进地下x3?a1?r?r2(m). (2)问题是要求limxn,为此先用归纳法证明:xn?1?a1?r???rn.

n??假设xn?1?r???rn?1a,则 Wn?1??xn?1xnkxdx?kk(xn?12?xn2)?[xn?12?(1?r?...?rn?1)a2]. 22由

Wn?1?rWn?r2Wn?1?...?rnW1,

xn?12?(1?r?...?rn?1)a2?rna2.

从而

xn?1?1?r???rna.

于是limxn?1n??1?rn?1a?lima?. n??1?r1?r若不限打击次数,汽锤至多能将桩打进地下a1?r(m).

oxx?dxA(0,3)y例49有一等腰梯形水闸.上底为6米,下底为2米,高为10米.试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力.

解建立如图5-8所示的坐标系,选取x为积分变量.则过点A(0,3),

1B(10,1)的直线方程为y??x?3.

5于是闸门上对应小区间[x,x?dx]的窄条所承受的水压力为

101dF?2xy?gdx.故闸门所受水压力为F=2?g?x(?x?3)dx=

05500?g,其中?为水密度,g为重力加速度. 3B(10,1)x图5-8

22

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4