作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?
铅垂高 C 1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2 y y 例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点B A的坐标为（－B 2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物A O A O x x 线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；
P C D h B 水平宽 a 图1
若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x
轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：（1）B（1，3）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,
3），得a?33223，因此y?x?x 333（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
?3k???k?b?3,3323??3解得?设直线AB为y=kx+b.所以?，因此直线AB为y?，当x=－1时，y?，x?333?2k?b?0.?23??b??3?因此点C的坐标为（－1，3/3）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
?13?931当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时P??,?. ??2?824??例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=请说明理由.
解：(1)设抛物线的解析式为：y1?a(x?1)?4把A（3,0）代入解析式求得a??1所以y1??(x?1)?4??x?2x?3设直线AB的解析式
B
2229S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，8y C 为：
y2?kx?b由y1??x2?2x?3求得B点的坐标为(0,3) 把
1
D x
1
A
A(3,0)，B(0,3)代入y2?kx?b中
解
得：
O
k??1,b?3所以y2??x?3
图-2
(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2S?CAB?1?3?2?3(平方单位) 2(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则
199h?y1?y2?(?x2?2x?3)?(?x?3)??x2?3x由S△PAB=S△CAB得?3?(?x2?3x)??3化简
8283331522得：4x?12x?9?0解得，x?将x?代入y1??x?2x?3中，解得P点坐标为(,)
2224例3．（2015江津）如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代y??x?bx?c中得? ∴抛物线解析式为：y??x?2x?3
(2)存在。 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x??1对称 ∴直线BC与x??1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵y??x?2x?3
2222??1?b?c＝0?b??2∴?
??9?3b?c?0?c?3 ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：y?x?3 Q点坐标即为??x??1的解
?y?x?3?x??1 ∴?∴Q(－1，2)
y?2?（3）答：存在。理由如下：
?x?2x?3) (?3?x?0)∵S?BPC?S四边形BPCO?S?BOC?S四边形BPCO?设P点(x，有最大值，则S?BPC就最大，∴S四边形BPCO＝SRt?BPE?S直角梯形PEOC?29若S四边形BPCO211BE?PE?OE(PE?OC) 221133292722＝(x?3)(?x?2x?3)?(?x)(?x?2x?3?3)＝?(x?)?? 2222283927927927当x??时，S四边形BPCO最大值＝? ∴S?BPC最大＝? ??22828283153152当x??时，?x?2x?3?∴点P坐标为(?， )
2424同学们可以做以下练习：
1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－
将△AOC沿AC翻折得△APC。
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x+bx+c上，求b，c的值，并说3明点C在此抛物线上；
M，使得四边形MCAP的面积最大？若
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点
存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线y?ax?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，物线的解析式；(2) 设抛上是否存在点P，使△符合条件的点P的坐标；为第二象限抛物线上一图
0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E
动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
2① 图②
11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B 侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点， 物线上一动点.
23.(2015年恩施) 如图两点， A点在原点的左点P是直线BC下方的抛
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P
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